2024年高考数学二轮复习专题四立体几何专题突破练14空间位置关系的判断与证明含解析.docxVIP

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专题突破练14空间位置关系的推断与证明

一、单项选择题

1.(2024·广东深圳二模)设α,β为两个不同的平面,直线l?α,则“l∥β”是“α∥β”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

2.(2024·湖北荆门期中)在三棱柱ABC-A1B1C1中,点M在AB上,且AM=λAB,若BC1∥平面A1MC,则λ=()

A.12 B.13 C.14

3.(2024·山东泰安三模)如图,AB为圆锥底面直径,点C为底面圆O上异于A,B的动点,已知OA=3,圆锥侧面绽开图是圆心角为3π的扇形,当∠PBC=π3时,PB与AC所成的角为(

A.π3 B.

C.π4 D.

4.(2024·山东烟台二模)很多球状病毒的空间结构可抽象为正二十面体.正二十面体的每一个面均为等边三角形,共有12个顶点、30条棱.如图,由正二十面体的一个顶点P和与P相邻的五个顶点构成正五棱锥P-ABCDE,则PA与面ABCDE所成角的余弦值约为()(参考数据cos36°≈0.8)

A.56 B.58 C.35

5.(2024·湖南衡阳月考)在菱形ABCD中,∠BAD=60°,将△ABD沿BD折起,使点A到达点A的位置,且二面角A-BD-C为60°,则AD与平面BCD所成角的正切值为()

A.34 B.

C.377 D

6.(2024·山东青岛二模)已知正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为2,点P在矩形ACC1A1(包含边界)内运动,且∠PBD=45°,则动点P的轨迹的长度为()

A.π B.2π C.2π D.22π

二、多项选择题

7.(2024·山东潍坊三模)已知α,β是两个平面,m,n是两条直线,则下列说法正确的是()

A.假如m⊥α,n∥α,那么m⊥n

B.假如m⊥n,m⊥α,n∥β,那么α⊥β

C.假如α∥β,m?α,那么m∥β

D.假如m∥α,n∥β,α∥β,那么m∥n

8.(2024·广东广州二模)如图,四棱锥P-ABCD的底面为矩形,PD⊥底面ABCD,AD=1,PD=AB=2,E为PB的中点,过A,D,E三点的平面α与平面PBC的交线为l,则下列结论正确的是()

A.l∥平面PAD

B.AE∥平面PCD

C.直线PA与l所成角的余弦值为5

D.平面α截四棱锥P-ABCD所得的上、下两部分几何体的体积的比值为3

三、填空题

9.(2024·山东潍坊期中)若平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,且平面α∥平面A1BD,平面α∩平面ABCD=l,则直线l与直线A1C1所成的角为.?

10.(2024·浙江宁波二模)如图,三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为23的正三角形,AA1=3,AA1⊥AC,D为A1C1的中点,BD=33,则二面角A1-AC-B的正切值为.?

11.(2024·福建龙岩月考)如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M为AD的中点,动点P在正方形ABCD内(不包括边界),若B1P∥平面A1BM,则C1P的长度的取值范围是.?

专题突破练14空间位置关系的推断与证明

1.B解析当l∥β时,α与β可能平行也可能相交.当α∥β时,因为l?α,所以l∥β.故选B.

2.A解析如图,连接AC1,交A1C于点O,连接OM.∵BC1∥平面A1MC,BC1?平面ABC1,平面A1MC∩平面ABC1=OM,

∴BC1∥OM.又在△ABC1中,O为AC1的中点,∴M为AB的中点,∴AM=12AB,∴λ=12

3.

C解析设圆锥的母线长为l,则l·3π=23π,解得l=2.∵PB=PC=l=2,∠PBC=π3,∴BC=2.∴在Rt△ABC中,AC=22.作BD∥AC,与圆O交于点D,连接AD,则四边形ACBD为平行四边形,BD=AC=22.连接PD,则∠PBD为PB与AC

∵PD=PB=2,BD=22,

∴PB2+PD2=BD2,∴PD⊥PB,∴∠PBD=π4.

4.A解析设正二十面体的棱长为a,点P在面ABCDE内的射影为点O,则O为正五边形ABCDE的中心.连接OA,OB(图略),则∠AOB=72°,所以OA=12ABsin36°=12a1-cos236°≈56

5.C解析连接AC,交BD于点O,则AC⊥BD.将△ABD沿BD折起,得到△ABD,可知AO⊥BD,CO⊥BD,则∠AOC为二面角A-BD-C的平面角,所以∠AOC=60°.设菱形ABCD的边长为2,则AO=CO=3,又∠AOC=60°,所以△AOC为等边三角形.过点A作AE⊥OC于点E,连接DE,则AE=32.因为AO⊥BD,CO⊥BD,AO∩CO=O,所以BD⊥平面AOC,