第7课 函数的基本性质.docx

第7课函数的基本性质

普查与练习7Ⅰ函数的单调性与最值

1．函数的单调性

a．函数的单调性与单调区间

(1)(2023汇编，10分)判断下列各函数在定义域上的单调性，并用单调性的定义证明结论．

①f(x)＝2x－eq\f(1,2x)；

答案：函数f(x)在R上单调递增，证明见解答过程

解：函数f(x)在R上单调递增．(1分)

证明如下：

易知函数f(x)的定义域为R.任取x1，x2∈R，设x1x2，

则f(x1)－f(x2)＝.

∵x1＜x2，∴02x12x2，∴2x1-2x20，∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，∴

②f(x)＝eq\f(x,x2＋1)，x∈(－1，0)．

答案：函数f(x)在(－1，0)上单调递增，证明见解答过程

解：函数f(x)在(－1，0)上单调递增．(6分)

证明如下：

任取x1，x2∈(－1，0)，设x1x2，则

∴f(x1)－f(x2)＝x1x12+1-x2x22+1＝x1x22+x1(x12+1)(x22+1)-x2x12+

(2)(经典题，5分)下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是(B)

A．f(x)＝eq\r(4x2＋1)－2x B．f(x)＝eq\f(2x－1,x＋2)

C．f(x)＝eq\f(2x2＋6,x) D．f(x)＝eq\f(1,x＋1)－ln(x＋1)

解析：A选项，f(x)＝eq\r(4x2＋1)－2x

＝eq\f(（\r(4x2＋1)－2x）（\r(4x2＋1)＋2x）,\r(4x2＋1)＋2x)＝eq\f(1,\r(4x2＋1)＋2x).

∵在(0，＋∞)上，y＝eq\r(4x2＋1)为增函数，y＝2x为增函数，且两函数值均为正数，

∴y＝eq\r(4x2＋1)＋2x为(0，＋∞)上的增函数，且y0，

∴y＝eq\f(1,\r(4x2＋1)＋2x)为(0，＋∞)上的减函数，

∴f(x)＝eq\r(4x2＋1)－2x在(0，＋∞)上单调递减，

故不符合题意；

B选项，f(x)＝eq\f(2x－1,x＋2)＝eq\f(2x＋4－5,x＋2)＝2－eq\f(5,x＋2)，

∴f(x)的图像是由反比例函数y＝－eq\f(5,x)的图像向左平移2个单位，再向上平移2个单位得到的，如图：

∴由图像可知函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)和(－2，＋∞)．∴f(x)在区间(0，

＋∞)上单调递增，故符合题意；

C选项，f(x)＝eq\f(2x2＋6,x)＝2x＋eq\f(6,x).

如图，根据对勾函数y＝ax＋eq\f(b,x)(a0，b0)的图像可知其单调增区间为(－∞，－eq\r(\f(b,a))]，[eq\r(\f(b,a))，＋∞)，单调减区间为[－eq\r(\f(b,a))，0)，eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\r(\f(b,a))))，

∴可得函数f(x)＝2x＋eq\f(6,x)在(0，eq\r(3)]上单调递减，故不符合题意；

D选项，由f(x)＝eq\f(1,x＋1)－ln(x＋1)可知函数f(x)的定义域为(－1，＋∞)．

∵y＝eq\f(1,x＋1)在(－1，＋∞)上为减函数，y＝ln(x＋1)在(－1，＋∞)上为增函数，

∴f(x)＝eq\f(1,x＋1)－ln(x＋1)在(－1，＋∞)上为减函数，故不符合题意．

(3)(2020重庆沙坪坝校级月考，5分)若函数f(x)＝log13[(2a－1)|x|＋3]eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a≠\f(1,2)))的定义域为R

A．f(x)在R上是增函数 B．f(x)在R上是减函数

C．f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))上单调递减 D．f(x)在[0，＋∞)上单调递增

解析：因为函数f(x)＝log13[(2a－1)|x|＋3]eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a≠\f(1,2)))的定义域为R，所以(2a－1)|x|＋30在R上恒成立，

设t＝(2a－1)|x|＋3，则函数y＝f(x)由函数y=log13t与t=(2a－1)|x|＋3

当x∈(－∞，0]时，函数t＝(2a－1)|x|＋3＝(1－2a)x＋3单调递减，而函数y=log13t在t∈(0，＋∞)上单调递减，所以函数y＝f(x)在(－∞

当x∈(0，＋∞)时，函数t＝(2a－1)|x|＋3＝(2a－1)x＋3单调递增，而函数y=log13t在t∈(0，＋∞)上单调递减，所以函数y＝f(x)在(0，＋

综上所述，函数y＝f(x)在(－∞，0]上单调递增，在(0，＋∞)上