2024_2025学年高中数学第二章圆锥曲线与方程习题课_抛物线的综合问题课后篇巩固提升含解析新人教A版选修1_1.docxVIP

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习题课——抛物线的综合问题

课后篇巩固提升

基础巩固

1.一动圆的圆心在抛物线y2=8x上,且动圆恒与直线x+2=0相切,则此动圆必过定点()

A.(4,0) B.(2,0)

C.(0,2) D.(0,0)

解析如图,圆心C在抛物线上,设与直线x+2=0相切的切点为A,与x轴交点为M,由抛物线的定义可知,CA=CM=R,直线x+2=0为抛物线的准线,故依据抛物线的定义得到该圆必过抛物线的焦点(2,0).

故选B.

答案B

2.过抛物线y2=8x的焦点作倾斜角为45°的直线,则它被抛物线截得的弦长为()

A.8 B.16

C.32 D.61

解析由抛物线y2=8x的焦点为(2,0),得直线的方程为y=x-2,代入y2=8x,得(x-2)2=8x,即x2-12x+4=0,所以x1+x2=12,弦长为x1+x2+p=12+4=16.

答案B

3.若动圆与圆(x-2)2+y2=1相外切,又与直线x+1=0相切,则动圆圆心的轨迹方程是()

A.y2=-4x

B.y2=-8x

C.y2=4x

D.y2=8x

解析设动圆圆心为O,半径为r,圆(x-2)2+y2=1的圆心为F(2,0),

则|OF|=r+1,

因为O到直线x+1=0的距离为r,

所以O到直线x+2=0的距离为r+1,

则动点O到定点(2,0)的距离等于到直线x+2=0的距离,

故动点O的轨迹为抛物线,焦点为F(2,0),准线为x=-2,轨迹方程为y2=8x.

故选D.

答案D

4.若直线y=kx-2与抛物线y2=8x交于A,B两个不同的点,抛物线的焦点为F,且|AF|,4,|BF|成等差数列,则k=()

A.2或-1

B.-1

C.2

D.1±5

解析设A(x1,y1),B(x2,y2),由y=kx-2,y2=8x,消去y,得k2

故Δ=16(k+2)2-16k2=64(1+k)0,解得k-1,且x1+x2=4

由|AF|=x1+p2=x1+2,|BF|=x2+p2=x2+2,且|AF|,4,|BF|

得x1+2+x2+2=8,得x1+x2=4,

所以4(k+2)k2=4,解得k=-1或k=2,又k-1,

答案C

5.设M(x0,y0)为抛物线C:x2=8y上一点,F为抛物线C的焦点,以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交,则y0的取值范围是()

A.(0,2) B.[0,2]

C.(2,+∞) D.[2,+∞)

解析圆心到抛物线准线的距离为p,即4,依据已知只要|FM|4即可.

依据抛物线定义,|FM|=y0+2,由y0+24,解得y02,故y0的取值范围是(2,+∞).

答案C

6.焦点为F的抛物线y2=2px(p0)上一点M在准线上的射影为N,若|MN|=p,则|FN|=.?

解析由条件知|MF|=|MN|=p,MF⊥MN,在△MNF中,∠FMN=90°,得|FN|=2p.

答案2p

7.若P为抛物线y2=4x上一动点,则点P到y轴的距离和到点A(2,3)的距离之和的最小值等于.?

解析易知点A在抛物线外.

∵点P到x=-1的距离等于点P到焦点F(1,0)的距离,∴点P到y轴的距离和到点A(2,3)的距离之和为点P到焦点F(1,0)的距离和到点A(2,3)的距离之和减1.

当且仅当A,P,F三点共线(点P在线段AF上)时,点P到y轴的距离和到点A(2,3)的距离之和最小,∴点P到y轴的距离和到点A(2,3)的距离之和的最小值为|AF|-1=10-1.

答案10-1

8.设A,B是抛物线x2=4y上两点,O为原点,若|OA|=|OB|,且△AOB的面积为16,则∠AOB等于.?

解析由|OA|=|OB|,知抛物线上点A,B关于y轴对称.

设A-a,a24,

则S△AOB=12×2a×

解得a=4.

所以△AOB为等腰直角三角形,∠AOB=90°.

答案90°

9.已知直线l经过抛物线y2=4x的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点.

(1)若|AF|=4,求点A的坐标;

(2)若直线l的倾斜角为45°,求线段AB的长.

解由y2=4x,得p=2,其准线方程为x=-1,焦点F(1,0),

设A(x1,y1),B(x2,y2).

(1)由抛物线的定义可知,|AF|=x1+p2

从而x1=4-1=3,

代入y2=4x,解得y1=±23

∴点A的坐标为(3,23)或(3,-23).

(2)直线l的方程为y-0=tan45°(x-1),

即y=x-1.

与抛物线方程联立,得y

整理得x2-6x+1=0,∴x1+x2=6.

由抛物线的定义可知,|AB|=x1+x2+p=6+2=8,

∴线段AB的长是8.

10.动圆P与直线x=-1相切,点F(1,0)在动圆上.