高中数学《导数及其应用》章末复习.pdfVIP

《导数及其应用》

章末复习

知识系统整合

基本初等函数的导数公式

导

数

导数的运算法则

及

其

应

用

1.导数的概念，要注意合实例理解概念的实质，利用导数的几何意义求曲

线的切线方程，要注意当切线平行于y轴时，这时导数不存在，此时的切线方程

为x=xo.

2.利用基本初等函数的求导公式和四则运算法则求导数，熟记基本求导公式,

熟练运用法则是关键，有时先化简再求导，会给解题带来方便.因此观察式子的

特点，对式子进行适当的变形是优化解题过程的关键.

3.利用导数判断函数的单调性应注意

(1)确定函数的定义域，解决问题的过程中，只能在函数的定义域内，通过讨

论导数的符号，来判断函数的单调区间.

(2)在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于0的点外，还要注意

定义区间内的不连续点或不可导点.

(3)命题“如果(幻〉0,则函数为增函数”的逆命题不成立，当/U)在(a,b)

内为增函数时，/a)eo,如yw=正由于/a)》。时，r㈤可能恒为o,犬方

也就恒为常数，所以由/(x)20不能得到./U)是单调增函数.因此，课本上关于

单调性的论在解题时要注意，它并非充要条件.

4.利用导数研究函数的极值要注意

(1)可导函数火x)在点X0取得极值的充分必要条件是(x)=0,且在xo左侧与

右侧，/㈤的符号不同，/(次)=0是沈为极值点的必要非充分条件.

(2)极值点也可以是不可导的，如函数凡\;)=国在极小值点x()=0处不可导.

(3)求一个可导函数的极值时，常常把使/(xo)=O的点xo附近的函数值的变

化情况列成表格，这样可使函数在各单调区间的增减情况一目了然.

5.极值与最值的区别

(1)函数的极值是在局部范围内讨论问题，是一个局部概念，而函数的最值是

对整个定义区间而言，是在整体范围内讨论问题，是一个整体性概念.

(2)闭区间上的连续函数一定有最值，开区间内的可导函数不一定有最值，若

有唯一的极值，则此极值必是函数的最值.

(3)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值则可

能不止一个，也可能没有极值.

6.导数的实际应用

利用导数研究实际问题的最值的关键在于建立数学模型，因此要认真审题，

分析各个量的关系，列出函数式y=/(x),然后利用导数求出函数凡r)的最值，求

函数/U)的最值时，若/U)在区间①，刀上只有一个极值点，要根据实际意义判定

是最大值还是最小值，不必再与端点的函数值比较.

3学科思想培优

一、导数几何意义的应用

典［例1］设曲线C：y=T—3x直线x=a(a0)的交点为尸，在P点的曲线

C的切线与x轴交于点。(一。,0),求a的值.

\?*YJ4Y,

3

{解得P(a,a—3a).

x=a,

2

y=3x—3,

所以在P点斜率为3屋一3的曲线C的切线方程为

32

y—(a—3a)=(3a—3)(x—a).

令y=0得切线与x轴的交点为(3n3，0),

则有一^—

川洞3a2-3Cl,

解得a=土军或。=0.