【试题】2023年全国中学生奥林匹克数学竞赛浙江.docxVIP

2023年全国中学生奥林匹克数学竞赛浙江赛区初赛试题

本卷共15道题目，12道填空题，3道解答题，所有答案填写在答题纸上，满分150分。

一、填空题(每小题8分，共计96分)

1.已知集合S={x∈R|x2+2x+a=0},若-1eS,则实数a=_°

2.函数在上的最小值为-0

3.已知四面体S-ABC,点A为三角形SBC的重心，G在线段AA上，

连接SG交三角形ABC所在的平面于M,则

存在四个不同的实根，4.已知关于x的方程x2+√12-3x2+x2+2x-√12-3x2=a则实数a的取值范围为o

存在四个不同的实根，

5.设函数f(z)(z为复数)满足f(f(z))=(zz-z-2)2。若f(1)=0,则f(i)-1|=

6.已知m,n,k为正整数，若存在正整数对(a,b)满足

(1+a)n2-4(m+a)n+4m2+4a+b(k-1)23,

则m+n+k可能值的个数为0

7.已知a,b,c∈C,且a+b+c=a2+b2+c2=3,a3+b3+c3=6,则

(a-1)2023+(b-1)223+(c-1)2023=

8.已知数列{a}满足,n=1,2,…,则

9.没a,b为两个垂直的平面向量，且ld=216=10。当0≤t≤1时，记向量ta+(1-t)b

与向量最大夹角为θ,则cosθ=_。

10.设a,a?,a?,a?,a?是数字1,2,3,4,5的排列。若不存在1≤ijk≤5成立a?a,a,则所有这样的排列数有种。

11.设n个正数a,a?,…,a。满足a?+a?+…+a=2023,M为

中的最大值，则M的最小可能值为_o

12.设不全相等的三个复数z?,Z?,z?满足方程4z2+5z2+5z2=4z?Z+6z?Z?+4z?Z?。记复平面上以z?,Z?,z?为顶点的三角形三边的长从小到大依次为a,b,c,则a:b:c= o

二、解答题(13题满分14分，14、15题满分各20分，合计54分)

13.已知椭圆)的上顶点A与左顶点B的距离为√41,离心率为

为x轴上一点。

(I)求椭圆方程；

(Ⅱ)连接AP交椭圆于点C,过C点作x轴的垂线，交椭圆另一个点D,求的取值范围。

14.设整数n≥2,对于{1,2,…,n}任一排列σ=(σ(1),o(2),…,o(n)),记

S={o|o(i)≠i,i=1,2,…,n},

求的值，并计算取到最小值时排列σ的数目。

15.设f(x)为整系数多项式，令P={plp为素数且对某个j∈N*,plf(2023/)}。已知P为有限集，求f(x)。