第5届决赛(非数学类)试卷及参考答案.docxVIP

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第五届全国大学生数学竞赛决赛评分细则（非数学类，2014）

一、解答下列各题（本题共28分，每小题7分）

1.计算积分dtdx.

解1原式=xdx=sin2tdt（4分）

sin2tdt=2.（3分）

解dt，则f且f（2分）原式x2f（3分）

sin2xdx=·（2分）

2设f(x)是[0,1]上的连续函数，且满足dx=1，求一个这样的函数f(x)使得积分

取得最小值.

（

（3分）

（2分）

即可.（2分）

3.设F(x,y,z)和G(x,y,z)有连续偏导数曲线过点

P0(x0,y0,z0).记Γ在xoy平面上的投影曲线为S.求S上过点(x0,y0)的切线方程.解.由两方程定义的曲面在P0(x0,y0,z0)的切面分别为

2

Fx(P0)(x-x0)+Fy(P0)(y-y0)+Fz(P0)(z-z0)=0,

Gx(P0)(x-x0)+Gy(P0)(y-y0)+Gz(P0)(z-z0)=0.（3分）

上述两切面的交线就是Γ在P0点的切线,该切线在xoy面上的投影就是S过(x0,y0)的切线.消去z-z0,我们得到

(FxGz-GxFz)P0(x-x0)+(FyGz-GyFz)P0(y-y0)=0,（3分）

这里x-x0的系数是故上式是一条直线的方程,就是所要求的切线.（1分）

位矩阵且B≠E.若秩rank(A+B)=3，试求常数a的值.4设矩阵，其中a为常数，矩阵

位矩阵且B≠E.若秩rank(A+B)=3，试求常数a的值.

解.由关系式AB=A-B+E，得→(A+E)(B-E)=0

→rank(A+B)≤rank(A+E)+rank(B-E)≤3（3分）

因为rank(A+B)=3，所以rank(A+E)+rank(B-E)=3

又rank(A+E)≥2，考虑到B非单位，所以rank(B-E)≥1，只有rank(A+E)=2（2分）

A+E=→→从而.（2分）

二、（12分）设f∈C4(-∞,+∞)，fh2，其中θ是

与x,h无关的常数，证明f是不超过三次的多项式.证由泰勒公式

=f,,+f

=f,,+f,,,θ2h2○2（2分）

其中ξ介于x与x+h之间，η介于x与x+θh之间，由○1，○2式与已知条件

可得

4(1-3θ)f,,,(x)=[6f(4)(η)θ2-f(4)(ξ)]h

当θ≠时，令h→0得f,,,(x)=0，此时f是不超过二次的多项式；

（3分）（2分）

3

当时，有

令h→0，注意到ξ→x,η→x，有f(4)(x)=0，从而f是不超过三次的多项式.（3分）三、（12分）设当x-1时,可微函数fx()满足条件

,fxfttd()=0，且0)