2024_2025年高中数学第一章导数及其应用2.1几个常用函数的导数二教案新人教版选修2_2.docVIP

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几个常用函数的导数

教学目标：

1．由定义求导数的三个步骤推导五种常见函数的导数公式；

2．驾驭并能运用这五个公式正确求函数的导数．

教学重点：

五种常见函数的导数公式及应用

教学难点：

五种常见函数导数公式的推导

教学过程：

一．课题导入

我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．那么，对于函数，如何求它的导数呢？

由导数定义本身，给出了求导数的最基本的方法，但这种方法在运算上很麻烦，有时甚至很困难，为了能够较快地求出某些函数的导数，从这一节课起先我们将探讨比较简捷的求导数的方法，下面我们先求几个常用的函数的导数．

二．新课讲授

1．函数的导数

依据导数定义，因为

所以

表示函数图像（图1.2-1）上每一点处的切线的斜率都为0．若表示路程关于时间的函数，则可以说明为某物体的瞬时速度始终为0，即物体始终处于静止状态．

2．函数的导数

因为

所以

表示函数图像（图1.2-2）上每一点处的切线的斜率都为1．若表示路程关于时间的函数，则可以说明为某物体做瞬时速度为1的匀速运动．

练习：在同始终角坐标系中，分别画出函数,,的图象，求出它们的导数。

（1）从图象上看，它们的导数分别表示什么?

（2）这三个函数，哪一个增加得最快，哪一个增加的最慢？

（3）函数增（减）的快慢与什么有关？

3．函数的导数

因为

所以

表示函数图像（图1.2-3）上点处的切线的斜率都为，说明随着的改变，切线的斜率也在改变．另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时改变率来看，表明：当时，随着的增加，函数削减得越来越慢；当时，随着的增加，函数增加得越来越快．若表示路程关于时间的函数，则可以说明为某物体做变速运动，它在时刻的瞬时速度为．

4．函数的导数

因为

所以

练习作出函数的图象，依据图象，描述它的改变状况，并求出其在点（1，1）处的切线方程

5．函数的导数

因为

=

=

所以

6.推广：若，则

练习求下列函数的导数

（1）（2）

（3）（4）

三．例题讲解

例1．曲线上哪一点的切线与直线平行？

解：设点为所求，则

它的切线斜率为，

∵，

∴，，

∴或．

例2．证明：曲线上的任何一点的切线与两坐标轴围成的三角形面积是一个常数．

解：由，得，

∴，

∴，

过点的切线方程为

，

令得，

令得，

∴过的切线与两坐标轴围成的三角形面积

是一个常数．

四．课时小结

，

五．布置作业

红对勾第四课时

板书设计

1.2.1几个常用函数的导数

公式1：(C为常数)

公式2：

例1

例2