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第七届全国大学生数学竞赛决赛试卷

(非数学类,2016年3月福州)

一、填空题(本题满分30分,共5小题,每小题6分)

(1)微分方程yII—(yI)3=0的通解为.

(2)设D:1≤x2+y2≤4.则积分I=σD(x+y2)e-(x2+y2-4)dxdy的值是.

(3)设f(t)二阶连续可导则=

.

(4)设λ1,λ2,···,λn是n阶方阵A的特征值,f(x)为多项式,则矩阵f(A)的行列式的值为.

极限的值是.

二、(本题满分14分)设函数f(u,v)在全平面上有连续的偏导数,曲面S由方

程=0确定.证明:该曲面的所有切平面都交于点(a,b,c).

三、(本题满分14分)设f(x)在[a,b]上连续.证明:

2f(x)f(t)dt)dx=f(x)dx)2.

四、(本题满分14分)设A是m×n矩阵,B是n×p矩阵,C是p×q矩阵.

证明:R(AB)+R(BC)—R(B)≤R(ABC),其中R(X)表示矩阵X的秩.

五、(本题满分14分)设In=∫4tannxdx,其中n为正整数.

(1)若n2,计算:In+In-2;

(2)设p为实数,讨论级数的绝对收敛性和条件收敛性.

六、(本题满分14分)设P(x,y,z)和R(x,y,z)在空间上有连续偏导数.记上半球面S:z=z0+√r2—(x—x0)2—(y—y0)2,方向向上.若对任何

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点(x0,y0,z0)和r0,第二型曲面积分

证明.