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第七届全国大学生数学竞赛决赛三、四年级试题解答

(数学类,2016年3月福州)

一、(本题20分)填空题(每小题5分)

p1;

(4)(1,0,1),或(-1,0,-1),或(1,t,-1),或(-1,t,1),t∈R.

二、(本题15分)由于形如αx+βy+γ=0的平面与S只能交于直线或空集,所以可以设平面σ的方程为

z=αx+βy+γ,

它与S的交线为圆.令x=cosθ,y=sinθ,则σ与S的交线可表示为

由于Γ(θ)是一个圆,所以它到一个定点P(a,b,c)的距离为常数R.于是有恒等式

利用

我们可以将上式写成

Acos2θ+Bsin2θ+Ccosθ+Dsinθ+E=0,

其中A,B,C,D,E为常数.由于这样的方程对所有θ∈[0,2π]恒成立,所以A=B=C=D=E=0.

特别地,我们得到

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于是得到Q=0,β=士1,平面σ的法向量为

(—Q,—β,1)=(0,1,1)或(0,—1,1)

的非零倍数.

三、(本题15分)

证明存在可逆方阵T,使得T-1AT=为对角阵.令T-1BT=,则为实对称方阵,且

tr((AB)2)=tr(()2),tr(A2B2)=tr(22).令=diag(a11,···,ann),=(bij)n×n.则

于是

四、(本题20分)

先证:当0x时,有证明设Γ的圆心为O,Qi=7BiOBi+1,Bn+1=B1,则P

先证:当0x时,有

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令—x,则g

故g(x)严格单调递增,因而g(x)g(0)=0.(1)式得证.

五、(本题10分)

证明首先,令G1=(u1),G2=(v1),G3=(u2),G4=(v2),

T={g1g2|g1∈G1,g2∈G2},H={g3g4|g3∈G3,g4∈G4},

则T、H均为G的阿贝尔子群.进一步,由(8,13)=1可知G1∩G2={e},G3∩G4={e}.

结果,T=G1G2为内直积分解,H=G3G4为内直积分解.其次,分别计算u1v1与u2v2的阶.

若(u1v1)x=e,则uv=e,由T=G1G2为内直积分解得u=v=e,从而8|x,13|x,故o(u1v1)=8×13,即有T=(u1v1).同理知:o(u2v2)=8×13,即有H=(u2v2).注意到u1v1=u2v2,故T=H.

第三,u2∈G3≤H=T,故u2可表为:u2=g1g2,g1∈G1,g2∈G2.结果u=gg,即g=e.

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令g2=v,于是vt=e,得13|8t,故g2=e,由此得u2∈G1.同理可知v2∈G2.

第四,再次考虑到u1v1=u2v2以及T=G1G2为内直积分解,因此有u1=u2,v1=v2.

最后,直接计算可知,u1u2的阶为4,v1v2的阶为13.

六、(本题10分)

证明令E1=E—Q,其中Q是有理数集,则E1无内点,且m(E1)=m(E).

(i)存在闭集E2CE1,使得am(E2)m(E1)=m(E).

对m(E1)a+qa的正实数q,由测度的连续性知,存在ACE1,使得m(A)=a+q.由可测集的定义,对,存在闭集E2CA,使得m(A—E2),于是m(E2)=m(A)—m(A—E2)a+q—=aa.又m(E2)≤m(A)=a+qm(E1),即am(E2)m(E1)=m(E).

(ii)令f(x)=m(E2∩[—x,x]),x∈R,可证f(x)是连续单增函数,且f(0)=0,limf(x)=m(E2