2024_2025学年新教材高中数学第1章预备知识33.1不等式的性质学案北师大版必修第一册.docVIP

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不等式的性质

学习目标

核心素养

1．梳理等式的性质，理解不等式的概念，驾驭不等式的性质．(重点)

2．能利用不等式的性质对不等式进行简洁的变形．(重点、难点)

1．通过实数大小的比较及不等式性质的证明，培育逻辑推理素养．

2．借助不等式性质的应用，提升数学运算素养.

1．如何比较两个实数的大小？

2．等式的基本性质有哪些？

3．不等式的基本性质有哪些？

学问点1实数大小比较的基本领实

1．文字叙述

假如a－b是正数，那么ab；假如a－b等于0，那么a＝b；假如a－b是负数，那么ab，反过来也成立．

2．符号表示

a－b0?ab；a－b＝0?a＝b；a－b0?ab.

(1)在比较两实数a，b大小的依据中，a，b两数是随意实数吗？

(2)p?q的含义是什么？

[提示](1)是．

(2)p?q的含义是：p可以推出q，q也可以推出p，即p与q可以互推．

1.当m1时，m3与m2－m＋1的大小关系为________．

[提示]∵m3－(m2－m＋1)

＝m3－m2＋m－1＝m2(m－1)＋(m－1)

＝(m－1)(m2＋1)．

又∵m1，故(m－1)(m2＋1)0.

[答案]m3m2－m＋1

学问点2不等式的性质

性质1：假如ab，且bc，那么ac.

性质2：假如ab，那么a＋cb＋c.

性质3：(1)假如ab，c0，那么acbc；

(2)假如ab，c0，那么acbc.

性质4：假如ab，cd，那么a＋cb＋d.

性质5：(1)假如ab0，cd0，那么acbd；

(2)假如ab0，cd0，那么acbd.

性质6：当ab0时，eq\r(n,a)eq\r(n,b)，其中n∈N＋，n≥2.

(1)若ab，cd，那么a＋cb＋d成立吗？a－cb－d呢？

(2)若ab，cd，那么acbd成立吗？

[提示](1)a＋cb＋d成立，a－cb－d不肯定成立，但a－db－c成立．

(2)不肯定，但当ab0，cd0时，肯定成立．

2.已知a＋b0，b0，那么a，b，－a，－b的大小关系是()

A．ab－b－a B．a－b－ab

C．a－bb－a D．ab－a－b

[答案]C

3.下列命题正确的是()

A．ab，c≠0?ac2bc2 B．ab?eq\r(a)eq\r(b)

C．ab且cd?a＋cb＋d D．ab?a2b2

[答案]A

4.若ab0，n0，则eq\f(1,an)________eq\f(1,bn).(填“”“”或“＝”)

[答案]

类型1数式的大小比较

【例1】(1)已知x1，比较x3－1与2x2－2x的大小；

(2)已知a0，试比较a与eq\f(1,a)的大小．

[解](1)(x3－1)－(2x2－2x)

＝(x－1)(x2＋x＋1)－2x(x－1)

＝(x－1)(x2－x＋1)

＝(x－1)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋\f(3,4))).

∵x1，

∴x－10.

又eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)0，

∴(x－1)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋\f(3,4)))0.

即x3－12x2－2x.

(2)∵a－eq\f(1,a)＝eq\f(a2－1,a)＝eq\f(?a－1??a＋1?,a)，

又∵a0，

∴当a1时，eq\f(?a－1??a＋1?,a)0，

有aeq\f(1,a)；

当a＝1时，eq\f(?a－1??a＋1?,a)＝0，有a＝eq\f(1,a)；

当0a1时，eq\f(?a－1??a＋1?,a)0，有aeq\f(1,a).

综上，当a1时，aeq\f(1,a)；

当a＝1时，a＝eq\f(1,a)；

当0a1时，aeq\f(1,a).

1．利用作差法比较大小的四个步骤

(1)作差：对要比较大小的两个式子作差．

(2)变形：对差式通过通分、因式分解、配方等手段进行变形．

(3)推断符号：对变形后的结果结合题设条件推断出差的符号．

(4)作出结论．

留意：上述步骤可概括为“三步一结论”，这里的“推断符号”是目的，“变形”是关键．其中变形的技巧较多，常见的有因式分解法、配方法、有理化法等．

2．作商法比较大小

假如两实数同号，亦可采纳作商法来比较大小，即作商后看商是大于1，等于1，还是小于1.方法图示如下：

依据

a0，b0

eq\f(a,b)1?ab；

eq\f(a,b)＝1?a＝b；

eq\f(a,b)1?a