2024年新教材高中数学第八章立体几何初步3.2圆柱圆锥圆台球的表面积和体积练习含解析新人教A版必修.docVIP

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圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积

【基础全面练】(25分钟50分)

一、选择题(每小题5分，共20分)

1．若一圆柱与圆锥的高相等，且轴截面面积也相等，那么圆柱与圆锥的体积的比值为()

A．1B．eq\f(1,2)C．eq\f(\r(3),2)D．eq\f(3,4)

【解析】选D.设圆柱底面半径为R，圆锥底面半径为r，高都为h，

由已知得2Rh＝rh，所以r＝2R，

V柱∶V锥＝πR2h∶eq\f(1,3)πr2h＝3∶4.

【加固训练】

一个正方体表面积与一个球表面积相等，那么它们的体积比是()

A．eq\f(\r(6π),6)B．eq\f(\r(π),2)C．eq\f(\r(2π),2)D．eq\f(3\r(π),2π)

【解析】选A.设正方体的棱长为a，球的半径为R，由6a2＝4πR2得eq\f(a,R)＝eq\r(\f(2π,3))，eq\f(V正方体,V球)＝eq\f(a3,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3,4π)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(2π,3))))eq\s\up12(3)＝eq\f(\r(6π),6).

2．(2024·乐山高一检测)如图，在直角梯形ABCD中，AD⊥DC，AD∥BC，BC＝2CD＝2AD＝2.若将直角梯形绕BC边旋转一周，所得几何体的体积为()

A．πB．eq\f(4π,3)C．eq\f(5π,3)D．2π

【解析】选B.将直角梯形绕BC边旋转一周，所得几何体如图：

该几何体为组合体，上半部分为圆锥，下半部分为圆柱，圆锥与圆柱的底面半径均为1，高均为1，

则所得几何体的体积为V＝π×12×1＋eq\f(1,3)π×12×1＝eq\f(4π,3).

3．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱的高为2，这个球的表面积为6π，则这个正四棱柱的体积为()

A．1B．2C．3D．4

【解析】选B.S表＝4πR2＝6π，

所以R＝eq\f(\r(6),2).

设正四棱柱底面边长为x，则eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)x))eq\s\up12(2)＋1＝R2，

所以x＝1.所以V正四棱柱＝2.

4．某校组织学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作如图所示的模型，该模型为在圆锥底内挖去一个正方体后的剩余部分(正方体四个顶点在圆锥母线上，四个顶点在圆锥底面上)，圆锥的底面直径和高都等于2(eq\r(2)＋1)cm，打印所用原料密度为1g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量约为()(取π≈3.14，参考数据：(eq\r(2)＋1)3≈14.07，(eq\r(2)＋1)2≈5.83，精确到0.1)

A．21.5gB．30.7gC．45.6gD．55.3g

【解析】选A.如图，设被挖去的正方体的棱长为xcm，圆锥底面半径为r，

则r＝(eq\r(2)＋1)cm，圆锥的高为2r，

由轴截面中的直角三角形相像，得eq\f(\f(\r(2),2)x,r)＝eq\f(2r－x,2r)，

得x＝2(eq\r(2)－1)r＝2(eq\r(2)－1)(eq\r(2)＋1)＝2，

所以该模型的体积V＝eq\f(1,3)π×r2×2r－23≈eq\f(1,3)×3.14×2×14.07－8≈21.5.

所以所需材料质量约为m≈21.5×1＝21.5g．

二、填空题(每小题5分，共10分)

5．如图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，假如冰淇淋溶化了________(填“会”或“不会”)溢出杯子．

【解析】因为V半球＝eq\f(1,2)×eq\f(4,3)πR3＝eq\f(1,2)×eq\f(4,3)π×43＝eq\f(128,3)π(cm3)，V圆锥＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(1,3)π×42×12＝64π(cm3)eq\f(128,3)π(cm3)，所以冰淇淋溶化了不会溢出杯子．

答案：不会

6．如图所示，已知一个组合体上面是一个正四棱柱，下面是一个半球．正四棱柱的底面边长为2eq\r(2)，高为eq\r(2)，半球的半径为2.则该几何体的体积是________，表面积是________.

【解析】组合体体积V＝V四棱柱＋V半