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吉林大学强基计划数学真题

单选题

1.已知函数\(f(x)\)满足\(f(x+1)=f(x1)\)，且当\(x\in[0,2]\)时，\(f(x)=x^22x\)，则\(f(2025)\)的值为（）

A.1B.0C.1D.2

答案：A

解析：由\(f(x+1)=f(x1)\)可得\(f(x+2)=f[(x+1)+1]=f[(x+1)1]=f(x)\)，所以函数\(f(x)\)的周期是\(2\)。那么\(f(2025)=f(2\times1012+1)=f(1)\)。当\(x=1\)时，代入\(f(x)=x^22x\)，可得\(f(1)=1^22\times1=1\)，所以\(f(2025)=1\)。

2.方程\(3^x+4^x=5^x\)的解的个数为（）

A.0B.1C.2D.无数个

答案：B

解析：将方程\(3^x+4^x=5^x\)变形为\((\frac{3}{5})^x+(\frac{4}{5})^x=1\)。设函数\(f(x)=(\frac{3}{5})^x+(\frac{4}{5})^x\)，因为\(y=(\frac{3}{5})^x\)与\(y=(\frac{4}{5})^x\)都是\(R\)上的减函数，所以\(f(x)=(\frac{3}{5})^x+(\frac{4}{5})^x\)是\(R\)上的减函数。又\(f(2)=(\frac{3}{5})^2+(\frac{4}{5})^2=1\)，所以方程\(3^x+4^x=5^x\)有且仅有一个解\(x=2\)。

3.若不等式\(ax^2+bx+c\gt0\)的解集为\((1,2)\)，则不等式\(cx^2+bx+a\lt0\)的解集为（）

A.\((1,\frac{1}{2})\)B.\((\infty,1)\cup(\frac{1}{2},+\infty)\)

C.\((2,1)\)D.\((\infty,2)\cup(1,+\infty)\)

答案：B

解析：因为不等式\(ax^2+bx+c\gt0\)的解集为\((1,2)\)，所以\(1\)，\(2\)是方程\(ax^2+bx+c=0\)的两根，且\(a\lt0\)。由韦达定理可得\(\frac{b}{a}=1+2=1\)，\(\frac{c}{a}=1\times2=2\)，即\(b=a\)，\(c=2a\)。则不等式\(cx^2+bx+a\lt0\)可化为\(2ax^2ax+a\lt0\)，因为\(a\lt0\)，两边同时除以\(a\)得\(2x^2+x1\gt0\)，因式分解得\((2x1)(x+1)\gt0\)，解得\(x\lt1\)或\(x\gt\frac{1}{2}\)，所以解集为\((\infty,1)\cup(\frac{1}{2},+\infty)\)。

4.已知函数\(f(x)=\begin{cases}x^2+1,x\leqslant0\\2

第11题

在平面直角坐标系中，已知点\(A(1,2)\)，\(B(3,4)\)，若直线\(y=kx\)与线段\(AB\)有公共点，则\(k\)的取值范围是（）

A.\([\frac{2}{3},2]\)B.\((\infty,\frac{2}{3}]\cup[2,+\infty)\)C.\([\frac{4}{3},2]\)D.\((\infty,\frac{4}{3}]\cup[2,+\infty)\)

答案：A

解析：直线\(y=kx\)恒过原点\(O(0,0)\)，\(k_{OA}=\frac{20}{10}=2\)，\(k_{OB}=\frac{40}{30}=\frac{4}{3}\)。直线\(y=kx\)与线段\(AB\)有公共点，则\(k\)的取值范围是\([\frac{4}{3},2]\)，当直线绕原点旋转时，\(k\)的取值范围就是直线\(OA\)到直线\(OB\)斜率的范围，所以\(k\)的取值范围是\([\frac{2}{3},2]\)。

第12题

已知一个正三棱柱的底面边长为\(2\)，高为\(3\)，则该正三棱柱的外接球的表面积为（）

A.\(16\pi\)B.\(20\pi\)C.\(24\