吉林省长春市第六中学2024-2025学年高一下学期4月月考数学试题.docxVIP

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吉林省长春市第六中学2024-2025学年高一下学期4月月考数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．复数在复平面的点位于（????）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．若，，且，则实数的值为（???）

A． B． C． D．

3．已知，则等于（）

A．10 B． C．3 D．

4．已知向量，，则“”是“”的（????）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

5．已知为单位向量，且，则（????）

A．1 B． C．2 D．

6．已知和是两个不共线的向量，若，，，且，，三点共线，则实数的值为（????）

A． B． C． D．

7．在中，，D为AB的中点，，P为CD上一点，且，则（????）

A． B． C． D．

8．在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则的取值范围为（????）

A． B． C． D．

二、多选题

9．已知为虚数单位，则下列说法中正确的是（??）.

A．复数的虚部为

B．

C．

D．复数满足，则的最大值为

10．记中的内角，，所对的边分别为，，，已知，则下列说法正确的是（????）

A．

B．若，的周长为，则一定为等边三角形

C．若是锐角三角形，且，则面积的取值范围是

D．若，则内切圆周长的最大值为

11．已知圆O的半径为1，直线与圆O相切于点A，直线与圆O交于B，C两点，D为的中点．若，则的可能取值为（????）

A． B． C． D．

三、填空题

12．是虚数单位，复数满足，则．

13．已知，为单位向量，它们的夹角为，则向量在向量上的投影向量为．

14．若两个非零向量，满足，则向量与的夹角为．

四、解答题

15．设复数．

(1)在复平面内，复数对应的点在实轴上，求；

(2)若是纯虚数，且是方程的根，求实数的值.

16．在中，，，，且，设，.

(1)用、表示、；

(2)求的值.

17．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.

(1)求B；

(2)若的面积为，，求边上的中线长.

18．重庆市某区政府计划在一处栀子花种植地修建花海公园.如图，公园用栅栏围成等腰梯形形状，其中，长为米；在上选择一点作为公园入口，从公园入口出发修建两条观光步道、，其中步道终点、两点在边界、上，且.

??

(1)观光步道的总长度是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由；

(2)金沙天街的“奇遇集市”凭借其地理优势及花样百出的“小摊摊”，吸引了众多周围的游客、学生以及上班族；该区政府决定效仿金沙天街的做法，在花海公园原有规划基础上增添一条商业步道用于建设“偶遇集市”，若建设观光步道平均每米需花费元，建设商业步道平均每米需花费元，试求建设步道总花费的最小值.（参考数据：）

19．在平面直角坐标系中，对于非零向量，定义这两个向量的“相离度”为，容易知道平行的充要条件为.

(1)已知向量，求；

(2)（i）设向量的夹角为，证明：；

（ii）在中，为的中点，且，若，求.

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《吉林省长春市第六中学2024-2025学年高一下学期4月月考数学试题》参考答案

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

D

B

B

A

B

B

D

A

BD

ABD

题号

11

答案

AB

1．D

【分析】利用复数的几何意义可得出结论.

【详解】复数在复平面内的点的坐标为，该点位于第四象限.

故选：D.

2．B

【分析】由向量平行的坐标运算可直接构造方程求得结果.

【详解】，，解得：.

故选：B.

3．B

【分析】根据题意，利用向量的数量积的坐标运算公式，准确计算即可求解.

【详解】由向量，可得，

所以.

故选：B.

4．A

【分析】利用垂直关系的向量表示及向量模的坐标表示求出，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得.

【详解】向量，，由，得，

解得，显然当时，有成立，

所以“”是“”的充分不必要条件.

故选：A

5．B

【分析】利用已知条件求出向量数量积为0，推出，然后求解向量的模即可.

【详解】为单位向量，且，

可得，

所以，则

故选：B

6．B

【分析】根据三点共线可得，列出方程组即可得解.

【详解】因为，

且，，三点共