小学数学解题研究：数学名题选讲PPT教学课件.pptx

小学数学解题研究

第八章数学名题选讲

知识目标1.理解数学名题的内容。2.了解数学名题的背景。3.掌握数学名题的解题模型。

能力目标A1.能运用数学名题的数学模型解决问题。2.能将数学名题的解题思路、方法及结论进行拓展。B

思政目标1.了解中国优秀文化,培养民族自豪感。2.注重数学思维方法的训练,培养科学精神,提高学生正确认识问题、分析问题和解决问题的能力。3.感受数学的美好、美妙,培养审美情操。

第一节鸡兔同笼问题

一、主要理论鸡兔同笼问题出自中国古代数学著作《孙子算经》。《孙子算经》成书于四、五世纪,也就是大约1600年前,作者生平和编写年份不详。传本的《孙子算经》共三卷,卷下第31题将“鸡兔同笼”问题叙述为:“今有雉兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问雉兔各几何?”其中的“雉”是野鸡的意思,“几何”是多少的意思,这四句话的意思是:有若干只鸡和兔同在一微课鸡兔同笼问题个笼子里,从上面数有35个头,从下面数有94只脚,求笼中各有几只鸡和兔。1.问题的提出

一、主要理论2.思路与解法(1)《孙子算经》中对这个问题用算筹进行求解,分为如下四个步骤:第一步:上置三十五头,下置九十四足。把头数“35”、足数“94”用小棒分别放置在上面(上位)和下面(下位)。

一、主要理论第二步:半其足得四十七。第三步:上三除下三,上五除下五。(这里的除指减。)

一、主要理论第四步:下有一除上一,下有二除上二,即得。上述算法的意思是:总足数94,取半成为47,此时相当于所有的鸡都成了金鸡独立的“独足鸡”,所有的兔都站立起来成了“双足兔”。此时每只鸡的头数和足数都是1,每只兔的头数是1、足数是2,所以用47减去总头数35(每只鸡和兔再减掉一只腿,这时鸡的腿没有了,每只兔还有一只腿,有多少只腿就有多少只兔),就得到兔的只数是12。最后用总头数35减去12就得到鸡的只数。《孙子算经》中把这一算法概括为:“上置头,下置足,半其足,以头除足,以足除头即得。”故此方法又名“半足法”。

一、主要理论(2)“鸡兔同笼”问题后来又被收录至明代程大位所著的《算法统宗》第八卷《少广章》中,其中对问题的叙述把“雉”改为“鸡”,从此,“鸡兔同笼”的说法沿用至今。《算法统宗》中对该问题给出了两种算法,这两种算法与《孙子算经》中的算法是不一样的,相当于现在所说的假设法。其中一个算法的步骤如下:第一步:“置总头倍之得七十。”意思是将总头数35加倍(乘以2)得到70。第二步:“与总足内减七十余二四。”也就是从总足数94中减去70得到24。第三步:“折半得一十二是兔。”将24折半(24除以2)得到12,这就是兔的只数。第四步:“以四足乘之得四十八足。”用每只兔的足数4乘以12,得到兔的总足数48。第五步:“总足减之余四十六,足为鸡足。”用总足数94减去兔的总足数48得到46,这就是鸡的总足数。第六步:“折半得二十三。”将鸡的总足数46折半(46除以2)就得到鸡的只数为23。

一、主要理论另外一个算法是先求鸡的只数,其步骤与前面先求兔的只数的方法基本相同。这两种算法在书中概括为两句话,即“倍头减足折半是兔”和“四头减足折半是鸡”。它们显然与《孙子算经》中的“半足法”不同,“半足法”首先是将总足数减半,而这里的两种算法的第一步是用每只鸡或兔的足数(2或4)去乘总头数,因此不妨把这个方法称为“倍头法”。不难发现,“倍头法”的原理其实就是现在所说的假设法。

一、主要理论3.推广及应用(1)列举法。利用列表、图示等方法列出鸡和兔的各种可能的情况,然后根据足的总数是否符合来求解。这种解法直观形象,问题中涉及的鸡、兔数目少或初接触鸡兔同笼问题的学生可以采用这种方法解题。

一、主要理论【例8-1】鸡兔同笼,有8个头,22只足,问鸡、兔各有几只。【解答】①图示法。先画8个头。假设它们全部是鸡,于是在每个头下画2只足。数一数,共16只足,比题中给出的条件少了6只足。于是再给部分鸡添2只足,让它变成兔。从图中可知有3只兔,5只鸡。

一、主要理论②列表法。从表中可知有3只兔,5只鸡。(2)化归法,即“半足法”。兔子数=总足数÷2-头数,鸡数=总头数-兔子数。

一、主要理论(3)假设法,即“倍头法”。①假设全部是鸡。兔数=(实际足数-每只鸡的足数×鸡兔总数)÷(每只兔子的足数-每只鸡的足数),鸡数=鸡兔总数-兔数。②假设全部是兔。鸡数=(每只兔子的足数×鸡兔总数-实际足数)÷(每只兔子的足数-每只鸡的足数),兔数=鸡兔总数-鸡数。(4)方程法。方程法就是设鸡(兔)的只数是x,列一元一次方程求解。(5)面积法。面积法是数形结合的一