第十届全国周培源大学生力学竞赛（个人赛）.docxVIP

F-1-

F

第十届全国周培源大学生力学竞赛（个人赛）

详细参考解答及评分标准

出题学校：

评分总体原则

各题均不限制方法。若方法与本文不同，只要结果和主要步骤正确，即给全分；若方法不同而结果不正确，各地自行统一酌情给分。本文中多处用图形解释，若试卷中未出现相应图形但已表达了同样的意思，则同样给分。计算结果用分数或小数表达均可。

本文中用浅黄色标识的公式和文字是给分的关键点，其后圆圈内的数字仅为本处的所得分值。

第1题（30分）

某工厂利用传送带运输边长为b的均质正方体货箱。已知货箱质量为m，绕自身中心轴的转动

惯量为J，并且6J=mb2，传送带A倾角为θ(θ45o），速度为v0，传送带C水平放置，B处为刚性支承。考虑货箱与传送带之间的摩擦，设两者之间的静摩擦因数为fs，动摩擦因数为f，并且0f1。

(1)若货箱在O处由静止轻轻放在传送带A上，如图(A)所示，试判断货箱在到达刚性支承B之前是否会翻倒，并论证你的结论。

(2)当货箱运动到传送带A底部时，其角部恰好与刚性支承B的顶端发生撞击，假设撞击过程为完全非弹性碰撞，货箱能顺利翻过刚性支承B到达传送带C，如图(B)所示，则释放点O到传送带A底部的位置s应该满足什么条件？（忽略两个传送带之间的距离）

AθO

Aθ

O

v0

BC

B

(A)

sAθCOv0

s

A

θC

O

v0

B

(B)

题1图

解答及评分标准

(1)（本小题12分）首先分析货箱在传送带上的运动。

由于货箱静止放置在传送带上，而传送带具有速度v0，所以初始运动阶段，货箱相对于传送带

产生滑动。该阶段货箱受力如图1-a(A)所示，图中G为货箱重力，F为摩擦力，FN为传送带给货箱的法向反力，a1为货箱在初始加速阶段的加速度。

由质心运动定理，

ma1=Gsinθ+F，(1-1a)

FN-Gcosθ=0。(1-1b)

式中，F=fFN。由式(1-1)得货箱质心的加速度

a1=g(sinθ+fcosθ)。①(1-2)

GG

G

FI1

.----

Mx1

M

Fa1

F

a1

FNF

FN

(A)(B)

图1-a

-2-

当货箱与传送带同速的瞬间，二者相对静止，无滑动摩擦。货箱的最大静摩擦力

Fmax=fsFN=fsGcosθ。(1-3)此后，若货箱重力沿斜面向下的分量Gsinθ大于该静摩擦力，货箱还将继续向下做加速运动，并且

受力如图1-b(A)所示，此时满足

GsinθfsGcosθ。(1-4)

由上式解得

θarctanfs。(1-5)

按照上述方法求解得该阶段货箱的加速度

a2=g(sinθ-fcosθ)。②(1-6)

当θ≤arctanfs，货箱与传送带同速后将一起以速度v0作匀速运动。

GG

G

FI2

.----

a2Fx2F

a2

F

N

FNF

FN

(A)(B)

图1-b

再分析货箱是否会倾倒。货箱相对于传送带滑动过程中，可能存在两种倾倒情况：初始加速阶段绕右下角M点倾倒，或同速后再次加速阶段绕左下角N点倾倒②。在货箱上考虑惯性力，记货箱在上述两种情况下的惯性力分别为F11和F12，利用达朗贝尔原理求解。如果考生只考虑了一种货箱可能翻倒的情况，此处只给①分。

首先分析货箱绕右下角M点倾倒情况。设FN距M点距离为x1，如图1-a(B)所示，根据达朗贝尔原理，

ΣFy=0，FN-Gcosθ=0。(1-7b)

式中，FI1=ma1=G(sinθ+fcosθ)。(1-8)

由式(1-7)、(1-8)得