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第1章

1988年第一届全国青年力学竞赛

1.1理论力学试题

1.图1-1所示平衡系统中，物体I、Ⅱ、Ⅲ、V之间分别通过光滑铰链A、B、C连接。0、E为固定支座，D、F、G、H处为杆约束。尺寸如图所示，b/a=1.5。物体Ⅱ受大小为M的力偶作用。假定全部力均在图示平面内，且不计所有构件的自重，杆O?G的内力不为零，则杆O?H与杆O?H所受内力之比为0

图1-1

2.V形槽中放置一个半径为r的匀质圆柱，如图1-2所示，槽边与水平夹角为α,接触处的摩擦因数μ=tanpm,圆柱重G。设转动圆柱所需的最小力偶矩为M,则当φmα时，Mm=_;当φm≥α时，

Mm=

3.如图1-3所示，曲柄摇杆机构中，曲柄OA长5cm,以匀角速度w=10rad/s转动，带动连杆AD及摇杆O?C运动，AD=20cm,B为AD的中点。在图示位置时，OA与水平线垂直，0?C与水平线成60°角。则在此瞬时摇杆0?C的角速度为,角加速度为_;滑块D的速度大小为 ,加速度大小为-0

4.设一动点在平面内运动，其切向和法向加速度都是非零的常量，求图1-2动点的运动轨迹。

5.如图1-4所示，质量为m的杆AB斜靠在铅垂墙上，A端有一小虫，其质量也为m。墙和地面都是光滑的。原系统静止，今小虫突然以相对速度u(常量)沿杆向B爬动。试写出杆与地面夹角α所满足的微分方程及初始条件。

全国周培源大学生力学竞赛赛题详解及点评2021版

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图1-3

图1-4

6.如图1-5所示，一质量为m,半径为b的空心薄圆柱0?在光滑水平面上运动。另一质量为m,半径为a(ab)的空心薄圆柱O?在圆柱0?的内表面做纯滚动。令θ角为0?O?与向下铅垂线的夹角。设初始时静止，且θ=β。试写出运动过程中0与θ的关系式。

7.若在地球表面上A、B两点间打通一条光滑隧道，如图1-6所示，质点m从A点由静止开始，借地心引力落入隧道。在地球内部地心引力取,g为地球表面的重力加速度，R为地球半径，不计地球自转的影响。

(1)当A、B间隧道为直线时，求质点从A到B的时间。

(2)当隧道为ACB折线时，求A到B的最短时间及最优折线。

(3)求A到B的最短时间及最优隧道的形状。

图1-5

图1-6

8.质量均为m的两质点P?、P?沿一光滑直线Ox运动，其位置在距离为L的两壁之间，如图1-7所示，设质点之间、质点和墙壁之间的碰撞都是完全弹性的。问在什么条件下，经过一段时间后，两质点的位置和速度同时回到初始状态?若发生两质点同时与一侧壁碰撞的三体碰撞时，则视为无限短时间内相继发生的两体碰撞。

9.半径为a、质量为m的均匀圆球在半径为b的完全粗糙的另一固定圆球的外表面上滚动，试建立动球的运动微分方程。当动球转速超过多少时，动球可以在定球的最高点处稳定地转动?

10.内半径R=30cm的空心圆柱0,水平固定放置。质量为m,半径为r=10cm的均匀圆环0?,可以在圆柱内做纯滚动。质量为m的质点A固连在圆环0?的边缘上。当圆环0?处于圆柱0的最低位置时，质点A处于圆环的最高位置。设00?与向下铅垂线的夹角为θ(图1-8)。则：当m=2m时，圆环的稳定的平衡位置为θ=_rad,圆环在此平衡位置附近微振动的周期为_s;当m=2m时，圆环的稳定的平衡位置为θ=rad,圆环在此平衡位置附近微振动的周期为_s。(取重力加速度g=

980cm/s2)

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第1章1988年第一届全国青年力学竞赛

图1-7

图1-8

1.2材料力学试题

1.试证明图1-9a所示等截面均质薄圆环在其平面内承受任意自相平衡力系时，其弯矩图的总面积必为零，此结论对于图1-9b所示的带铰圆环是否正确?

2.如图1-10所示，直径为d的均质圆盘，沿直径两端承受一对大小相等，方向相反的集中力F作用，材料的弹性模量为E,泊松比为v,试求圆盘变形后的面积改变率△A/A。

a)b)

图1-9