2024_2025新教材高中数学第三章圆锥曲线与方程1.2第二课时椭圆的方程及性质的应用习题课学案苏教版选择性必修第一册.docVIP

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其次课时椭圆的方程及性质的应用(习题课)

新课程标准解读

核心素养

1.巩固椭圆的简洁几何性质及应用

数学建模

2.会推断直线与椭圆的公共点个数

逻辑推理

直线与椭圆公共点个数的推断

[例1]已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：

(1)有两个不同的公共点；

(2)有且只有一个公共点；

(3)没有公共点．

[解]直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组

eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝2x＋m，①,\f(x2,4)＋\f(y2,2)＝1，②))

将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0， ③

关于x的一元二次方程的判别式

Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.

(1)由Δ0，得－3eq\r(2)m3eq\r(2).

于是，当－3eq\r(2)m3eq\r(2)时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个不同的公共点．

(2)由Δ＝0，得m＝±3eq\r(2).

也就是当m＝±3eq\r(2)时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个相互重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点．

(3)当Δ0，得m－3eq\r(2)或m3eq\r(2).

从而当m－3eq\r(2)或m3eq\r(2)时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l与椭圆C没有公共点．

eq\a\vs4\al()

1．直线与椭圆有无公共点或有几个公共点的问题，事实上是探讨它们的方程组成的方程组是否有实数解或实数解的个数问题，此时要留意分类探讨思想和数形结合思想的运用．

2．推断直线与椭圆的位置关系，通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组，消去方程组中的一个变量，得到关于另一个变量的一元二次方程，则

Δ0?直线与椭圆相交；

Δ＝0?直线与椭圆相切；

Δ0?直线与椭圆相离．

[跟踪训练]

若直线mx＋ny＝4和圆O：x2＋y2＝4没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1的交点个数为()

A．至多一个 B．2

C．1 D．0

解析：选B因为直线mx＋ny＝4和圆O：x2＋y2＝4没有交点，所以eq\f(4,\r(m2＋n2))＞2，所以m2＋n2＜4.所以eq\f(m2,9)＋eq\f(n2,4)＜eq\f(m2,9)＋eq\f(4－m2,4)＝1－eq\f(5,36)m2≤1，所以点(m，n)在椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1的内部，所以过点(m，n)的直线与椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1的交点有2个.

椭圆的实际应用问题

[例2](链接教科书第84页例2)酒泉卫星放射中心将一颗人造卫星送入到距地球表面近地点(离地面最近的点)高度约200km，远地点(离地面最远的点)高度约350km的椭圆轨道(将地球看作一个球，其半径约为6371km)，求卫星运行的轨道方程．(注：地心(地球的中心)位于椭圆轨道的一个焦点，且近地点、远地点与地心共线)

[解]如图，设地心为椭圆轨道右焦点F2，近地点、远地点分别为A2，A1，以直线A1A2为x轴，线段A1A2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则F2，A1，A2三点都在x轴上，

|F2A2|＝a－c＝200＋6371，

|A1F2|＝a＋c＝350＋6371，

所以a＝6646，c＝75，

从而b2＝a2－c2＝66462－752＝44163691.

所以卫星运行的轨道方程为

eq\f(x2,44169316)＋eq\f(y2,44163691)＝1.

eq\a\vs4\al()

解决椭圆的实际问题的基本步骤

(1)仔细审题，理顺题中的各种关系，如等量关系；

(2)结合所给图形及题意建立适当的平面直角坐标系；

(3)利用椭圆学问及其他相关学问求解．

[跟踪训练]

神舟五号飞船胜利完成了第一次载人航天飞行，实现了中国人民的航天幻想．某段时间飞船在太空中运行的轨道是一个椭圆，地心为椭圆的一个焦点，如图所示．假设航天员到地球的最近距离为d1，最远距离为d2，地球的半径为R，我们想象存在一个镜像地球，其中心在神舟飞船运行轨道的另外一个焦点上，上面住着一个神奇生物放射某种神奇信号，须要飞行中的航天员中转后地球人才能接收到，则传送神奇信号的最短距离为()

A．d1＋d2＋R B．d2－d1＋2R

C