2024_2025学年高中数学第三章不等式习题课_数学规划的简单应用课后巩固提升含解析新人教A版必修5.docxVIP

PAGE

PAGE1

第三章不等式

习题课——数学规划的简洁应用

课后篇巩固提升

基础巩固

1.已知x,y满意约束条件则(x+3)2+y2的最小值为()

A. B.2

C.8 D.10

解析画出可行域(图中的阴影部分),(x+3)2+y2表示可行域中的点(x,y)与点(-3,0)之间的距离的平方.由图形可知,当点(x,y)为点(0,1)时,点(x,y)与点(-3,0)之间的距离最小,等于,因此(x+3)2+y2的最小值为10.

答案D

2.已知变量x,y满意约束条件若使z=ax+y取得最大值的最优解有无穷多个,则实数a的取值集合是()

A.{-3,0} B.{3,-1}

C.{0,1} D.{-3,0,1}

解析作出不等式组所表示的平面区域,如图中的阴影部分所示.易知直线z=ax+y与x-y=2或3x+y=14平行时取得最大值的最优解有无穷多个,即-a=1或-a=-3,所以a=-1或a=3.

答案B

3.已知实数x,y满意不等式组的取值范围是()

A.[-1,1) B.[-1,1]

C.(-1,1) D.[-1,+∞)

解析

画出可行域(图中的阴影部分),设w=,所以y=wx+1(x≠0),w表示直线y=wx+1(x≠0)的斜率.由图可知,满意条件的直线夹在直线y=-x+1与y=x+1之间,故-1≤w1.

答案A

4.已知变量x,y满意条件若不等式x+2y≤14恒成立,则a的取值范围是()

A.(-∞,10] B.[8,10]

C.(-∞,-6] D.(-∞,-10]

解析明显a≥8,否则可行域无意义,由图可知x+2y在点(6,a-6)处取得最大值,则有2a-6≤14,因此a≤10,所以8≤a≤10.

答案B

5.已知变量x,y满意约束条件的取值范围是.?

解析画出可行域(图中的阴影部分),易得A(2,4),B(1,6),因为它们与原点连线的斜率分别为k1=2,k2=6,又因为,所以k1≤≤k2,即2≤≤6.故的取值范围是[2,6].

答案[2,6]

6.不等式组表示的平面区域内的整点(横坐标和纵坐标都是整数的点)共有个.?

解析画出可行域,如图中的阴影部分(不含边界),由图知满意题意的整点有(1,1),(1,2),(2,1),共3个.

答案3

7.已知x,y满意约束条件若x2+y2≥a2恒成立,则实数a的取值范围是.?

解析画出可行域(图中的阴影部分),

x2+y2表示可行域中的点(x,y)与原点距离的平方.由图可知,x2+y2的最小值应为原点到边界直线x+y=1的距离的平方,而原点到边界直线x+y=1的距离等于,所以x2+y2的最小值是,因此要使x2+y2≥a2恒成立,应有a2≤,故-≤a≤.

答案-

8.已知x,y满意线性约束条件求函数z=x2+y2的最大值和最小值.

解已知不等式组为在同一平面直角坐标系中,画出可行域,如图阴影部分所示.

由解得A(9,8).

所以zmax=(x2+y2)max=|OA|2=145.

又因为原点O到直线BC的距离为,

所以zmin=(x2+y2)min=.故函数z=x2+y2的最大值为145,最小值为.

9.某人有一幢楼房,室内面积共计180m2,拟分割成两类房间作为旅游客房.大房间每间面积为18m2,可住游客5名,每名游客每天住宿费40元;小房间每间面积为15m2,可住游客3名,每名游客每天住宿费50元.装修大房间每间须要1000元,装修小房间每间须要600元.假如他只能筹款8000元用于装修,且游客能住满客房,则他应隔出大房间和小房间各多少间,才能使每天获得的住宿费最多?

解设大房间为x间,小房间为y间,每天获得的住宿费为z元.依据题意得目标函数为z=200x+150y.

作出约束条件表示的平面区域,如图中阴影部分所示,把目标函数z=200x+150y化为y=-x+,由图易知当直线经过点M时,z取得最大值,解方程组得M.因为最优解(x,y)中,x,y必需都是整数,所以点不是最优解.验证可知当直线过整点(3,8)和整点(0,12)时,z取得最大值,所以当大房间为3间,小房间为8间或大房间为0间,小房间为12间时,可使每天获得的住宿费最多,最多为1800元.

实力提升

1.已知a0,x,y满意约束条件若z=2x+y的最小值为0,则a等于()

A. B.

C.1 D.2

解析依据约束条件画出可行域,如图阴影部分所示.由z=2x+y,得y=-2x+z,可将z的最小值转化为直线在y轴上的截距最小.由图知当直线z=2x+y经过点B时,z最小.因为点B的坐标为(1,-2a),将其代入z=2x+y,得2-2a=0,得a=1.

答案C

2.已知O为坐标原点,点M的坐标为(2,1),若点N(x,y)满意不等式