2024年新教材高中数学第八章立体几何初步6.2直线与平面垂直二学案新人教A版必修第二册.docVIP

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直线与平面垂直(二)

学校操场上的有多根旗杆，做建筑的地基时须要先向地下打多根立柱，在现实生活中有好多这样的现象．

【问题1】每一根旗杆与地面是怎样的位置关系？

【问题2】旗杆所在的直线之间是什么关系？

【问题3】直线与平面垂直有哪些性质？

1．直线与平面垂直的性质定理

(1)定理：垂直于同一个平面的两条直线平行．

(2)符号：a⊥α，b⊥α?a∥b；

(3)图形：

假如两条平行线中的一条与一个平面垂直，那么另一条直线与这个平面是什么位置关系？

提示：垂直．

2．空间距离

(1)直线到平面的距离

一条直线与一个平面平行时，这条直线上随意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离．

(2)平面与平面之间的距离

假如两个平面相互平行，那么其中一个平面上随意点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做两个平面间的距离．

是不是随意的直线与平面、平面与平面间都有距离？

提示：不是，只有当直线与平面平行，平面与平面平行时才涉及距离问题．

直线与平面垂直的性质定理

(1)该定理考查的是在直线与平面垂直的条件下，可得出什么结论．

(2)定理给出了判定两条直线平行的另一种方法(只要判定这两条直线都与同一个平面垂直).

(3)定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，供应了“垂直”与“平行”关系相互转化的依据．

(4)定理的推证过程采纳了反证法．

1.与同一条直线垂直的两个平面什么关系？

2．假如一条直线与两个平行平面中的一个垂直，那么这条直线与另一个平面什么关系？

3．若两条直线a，b，平面α，满意b⊥α，b⊥a，那么直线a与平面α的位置关系是什么？

提示：1.平行；2.垂直；3.a∥α或a?α.

视察教材第154页图8.6－19，若直线AA1，BB1不与平面α垂直，AA1∥BB1时，线段AA1，BB1的长度什么关系？

提示：相等．

1．若直线l与平面α不垂直，m?α，那么l与m的位置关系是()

A．垂直 B．平行

C.异面或相交 D．以上都有可能

【解析】选D.由线面位置关系推断．

2．在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是()

A.相交 B．平行

C.异面 D．相交或平行

【解析】选B.圆柱的母线垂直于圆柱的底面，由线面垂直的性质知是平行关系．

基础类型一直线与平面垂直的应用(逻辑推理)

1．如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC＝90°，F是AC的中点，E是PC上的点，且EF⊥BC，则eq\f(PE,EC)＝________．

2．如图，正方体A1B1C1D1-ABCD中，EF与异面直线AC，A1D都垂直相交．求证：EF∥BD1

【解析】1.在三棱锥P-ABC中，

因为PA⊥底面ABC，∠BAC＝90°，

所以AB⊥平面APC.

因为EF?平面PAC，所以EF⊥AB，

因为EF⊥BC，BC∩AB＝B，

所以EF⊥底面ABC，所以PA∥EF，

因为F是AC的中点，E是PC上的点，

所以E是PC的中点，所以eq\f(PE,EC)＝1.

答案：1

2．如图所示，连接AB1，B1C

因为DD1⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，

所以DD1⊥AC.

又AC⊥BD，DD1∩BD＝D，

所以AC⊥平面BDD1.

又BD1?平面BDD1，

所以AC⊥BD1.

同理可证BD1⊥B1C

又AC∩B1C

所以BD1⊥平面AB1C

因为EF⊥AC，EF⊥A1D，

又A1D∥B1C，所以EF⊥B1

又AC∩B1C＝C，所以EF⊥平面AB1

所以EF∥BD1.

关于线面垂直性质定理的应用

(1)在证明与垂直相关的平行问题时，可以考虑线面垂直的性质定理，利用已知的垂直关系构造线面垂直，关键是确定与要证明的两条直线都垂直的平面．

(2)留意线面垂直性质定理的推论的应用，利用平行关系转化为垂直关系，或将垂直关系转化为平行关系．

基础类型二空间中的距离问题(数学运算)

【典例】如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，AD＝1，A1

(1)证明：直线BC1平行于平面D1AC

(2)求直线BC1到平面D1AC

【解析】(1)因为ABCD-A1B1C1D1为长方体，故AB∥C1D1，AB＝C1D1

故四边形ABC1D1为平行四边形，故BC1∥AD1，

明显B不在平面D1AC

于是直线BC1平行于平面D1AC

(2)直线BC1到平面D1AC

即为点B到平面D1AC

考虑三棱锥D1-ABC的体积，以平面ABC为底面，可得V＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×1×2))×1＝eq