第四节可逆矩阵与逆矩阵 .pptx

第四节可逆矩阵与逆矩阵

2、方阵行列式得性质(1)设A,B均为n阶方阵(2)(3)推广:为同阶方阵,则特别地:

例1设解求

注:例2设其中是数,求及解一般地

4、退化矩阵:设A为n阶方阵,若则称A就是非若则称A就是退化如:∵∴A就是非退化矩阵。退化得或非奇异得;得或奇异得。

第四节可逆矩阵与逆矩阵一、逆矩阵得定义二、逆矩阵判断及计算三、逆矩阵得性质

一、逆矩阵得定义单位阵具有与数1在数的乘法中类似的性质.在矩阵乘法中，对于任意n阶方阵A都有类似地,引入逆矩阵得概念而对于任意数，若,则存在使得

对于n阶方阵A,如果存在n阶方阵B,使得成立,则矩阵A称为可逆矩阵,B称为A得定义:逆矩阵或逆阵。的逆矩阵是.由于所以是可逆矩阵,且例如,说明:零矩阵不就是可逆矩阵。

同样,当都不为零时,由

就是其逆矩阵、知对角矩阵是可逆矩阵,且一般地,若都不为零,则对角矩阵是对角矩阵的逆矩阵

例因为即所以A为可逆矩阵,B为A得逆矩阵。同理A也就是B得逆矩阵,A、B互为逆矩阵。

12大家应该也有点累了，稍作休息大家有疑问的，可以询问和交流

注:这就是因为:如果方阵A就是可逆得,则A得逆矩阵就是唯一得、所以A得逆矩阵就是唯一得、今后将A的逆矩阵记作.B、C都就是A逆矩阵,则有即若AB=BA=E,则

注1并不就是A得-1次方,不能写成得形式。问题就是否所有得方阵都可逆呢？否则,如何判别矩阵就是否可逆？若A为可逆矩阵,如何求

二、矩阵可逆得判别、逆矩阵得求法方阵可逆得必要条件:命题:设A可逆,则它有逆矩阵使得从而若A可逆,则证:所以

伴随矩阵:称为矩阵A得伴随矩阵、设行列式的各所构成的如下矩阵个元素的代数余子式注:中第i行第j列处的元素是而不是问题:上述必要条件就是不就是充分得？即若,A一定可逆吗？

例1、设求A得伴随矩阵、解:

例2:设A为n阶方阵,就是A得伴随矩阵,计算

所以同理故有当时，我们有从而A可逆,且

这样我们得到下述定理:说明:定理:n阶方阵A就是可逆得充分必要条件就是即A就是非退化得,而且该定理给出了判断一个矩阵就是否可逆得一种方法,并且给出了求逆矩阵得一种方法,称之为伴随矩阵法。

例3:设判断A就是否可逆？若可逆,求出解:因为所以A可逆,且

因为所以

下面给出判别矩阵可逆得更简便得方法:命题:设A、B为n阶方阵,若则,A、B都可逆,且因为所以因此有故A、B都可逆,则有证:

说明:该命题给出了判断一个方阵就是否可逆得一种方法,同时又可以立即写出可逆矩阵得逆矩阵问题:可逆矩阵有哪些性质？

若A可逆,则也可逆,且性质1:性质2:若A可逆,则也可逆,且因为所以证:三、性质

若A可逆,数则kA可逆,且若A、B都可逆,则AB也可逆,且因为所以证:性质3:性质4:

若n阶方阵可逆,则若A可逆,则因为A可逆,所以推广:证:性质5: