2024_2025学年新教材高中数学第四章指数函数与对数函数4.3不同函数增长的差异学案新人教A版必修第一册.docVIP

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不同函数增长的差异

新课程标准解读

核心素养

1.了解常用的描述现实世界中不同增长规律的函数模型

数学抽象

2.了解直线上升、指数爆炸、对数增长等增长含义

逻辑推理

3.能依据详细问题选择合适的函数模型

数学建模

1859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂密的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增加，不到100年，兔子们占据了整个澳大利亚，数量达到75亿只，可爱的兔子变得可恶起来，75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口．这使澳大利亚头痛不已．他们采纳各种方法歼灭这些兔子，直至二十世纪五十年头，科学家采纳载液瘤病毒杀死了百分之九十的兔子，澳大利亚人才算松了一口气．

[问题]想想看，澳大利亚的兔子为什么在不到100年的时间内发展到75亿只？

学问点三种常见函数模型的增长差异

函数

性质

y＝ax

(a1)

y＝logax

(a1)

y＝kx

(k0)

在(0，＋∞)

上的增减性

增函数

增函数

增函数

图象的改变

随x的增大渐渐变“陡”

随x的增大渐渐趋于稳定

增长速度不变

形象描述

指数爆炸

对数增长

直线上升

增长速度

y＝ax(a1)的增长速度最终都会大大超过y＝kx(k0)的增长速度

增长结果

存在一个x0，当xx0时，有axkxlogax

eq\a\vs4\al()

三种函数模型的再理解

(1)当描述增长速度改变很快时，经常选用指数函数模型；

(2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，经常选用对数函数模型．

1．推断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)增长速度不变的函数模型是一次函数模型．()

(2)函数y＝log2x增长的速度越来越慢．()

(3)不存在一个实数m，使得当xm时，1.1xx100.()

答案：(1)√(2)√(3)×

2．下列函数中随x的增大而增大且速度最快的是()

A．y＝ex B．y＝lnx

C．y＝2x D．y＝e－x

答案：A

3．某同学最近5年内的学习费用y(千元)与时间x(年)的关系如图所示，则可选择的模拟函数模型是()

A．y＝ax＋b B．y＝ax2＋bx＋c

C．y＝a·ex＋b D．y＝alnx＋b

解析：选B由散点图和四个函数的特征可知，可选择的模拟函数模型是y＝ax2＋bx＋c.

几类函数模型增长的差异

[例1](链接教科书第139页练习1题)四个自变量y1，y2，y3，y4随变量x改变的数据如下表：

x

1

5

10

15

20

25

30

y1

2

26

101

226

401

626

901

y2

2

32

1024

32768

1.05×106

3.36×107

1.07×109

y3

2

10

20

30

40

50

60

y4

2

4.322

5.322

5.907

6.322

6.644

6.907

则关于x呈指数型函数改变的变量是________．

[解析]以爆炸式增长的变量呈指数型函数改变．从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2起先改变，且都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y2关于x呈指数型函数改变．

[答案]y2

eq\a\vs4\al()

常见的函数模型及增长特点

(1)线性函数模型：线性函数模型y＝kx＋b(k0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变；

(2)指数函数模型：指数函数模型y＝ax(a1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”；

(3)对数函数模型：对数函数模型y＝logax(a1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓；

(4)幂函数模型：幂函数y＝xn(n0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间．

[跟踪训练]

下列各项是四种生意预期的收益y关于时间x的函数，从足够长远的角度看，更为有前途的生意的序号是________．

①y＝3×1.04x；②y＝20＋x10；

③y＝40＋lg(x＋1)；④y＝80.

解析：结合三类函数的增长差异可知①的预期收益最大．

答案：①

几类函数模型的比较

[例2]函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象如图所示．设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1x2.

(1)请指出示意图中曲线C1，C2分别对应哪一个函数；

(2)结合函数图象示意图，推断f(6)，g(6)