【解析】2023高中联赛初赛试题详解 (1).docxVIP

1

2023年重庆市高中联赛预赛试题参考答案

考试时间：80分钟

一．填空题（本题满分64分，每小题8分）

1.【答案】205

由1≤x≤y≤5，+5=10，x=1,y=5时取得最大值M=10.又+x≥2x=y=时取得最小值则MN=20.

2.【答案】41

2+1≤f2+1，设f2+1,f=11→a==41.

3.【答案】3

【解析】齐次化，设3x2+xy+y2=k(4x2-4xy+2y2)，则

(4k-3)x2-(4k+1)xy+(2k-1)y2=0

当时，-4xy+y2=0，x=,y=0是一组解.当k≠时，Δ=(4k+1)2y2-4(4k-3)(2k-1)y2≥0.

若y=0,则

若y≠0,得-16k2+48k-11≥0→且均能取等，

从而3x2+xy+y2的最大值与最小值和为3.

4.【答案】

【解析】如图将顶点分成四类{A},{B,D,E},{C,H,F},{G}第一次后在四个集合概率分别为：(0,1,0,0)

第二次后在四个集合概率分别为

第三次后在四个集合概率分别为：(0,,0,

第四次后在四个集合概率分别为第五次后在四个集合概率分别为第六次后在四个集合概率分别为则第六次回到A的概率为.

【解析】已知等式变形为(sinα-|sinβ|)(cosβ-|cosα|)=0.令x=sinα,y=cosβ,则

=0，从而x=其图象是单位圆在一、二、四象限

2

（包括坐标轴）的部分，又(tany,coty)为双曲线xy=1上的点，由几何意义知道所求值为距离最小值的

平方2=3-26.【答案】

【解析】由双曲线性质知a=3，设右顶点为C，则PA-PB=2R(sinB-sinA)=6，

又,tan从而有sinA=,sinB=代入得.

【解析】z=x+yi(x,y∈R)，x2+y2=1，从而有

u=z3+z2-5z+3=(z-1)(z2+2z-3)=(z-1)2(z+3)

8.【答案】.

【解析】如图由于K为重心，则VKPQR=根据AB,AQ=AC,AR=得

将四面体ABCD放入边长为1的正方体中知VABCD=

3

二．解答题（本题满分56分）

9.（本小题满分16分）【解析】证明：

由二元均值不等式

3x+8xy+16xyz=3x+8xy(1+2z)

只需证4x3-20x2+28x≤12

……8分

这等价于4(3-x)(x-1)2≥0

……12分

取等为x=1，2y=1+2z，解得x=1,y=,z=.

……16分

10.（本小题满分20分）

【解析】λ=1

首先，an≠0，则→令=bn，则bn+1-2=-bn+

……5分

接下来证明引理：M0,3m0,bmM.

由于根据bn+1-2=知bn2且单调增.

∴bn+1-2→bn引理得证.再根据bn+1-2=-bn+有

……10分

……15分

对m∈N

并且若λ1,令m充分大，与引理矛盾.……20分

4

11.（本小题满分20分）

l(2,,则a=c,b=联立=6消去y得：

l(2,

x2+3cx+c2-6=0，代入解得c=2，从而椭圆方程为……5分

易知C设注意到直线EF方程为

椭圆方程联立消去x得y2-8ty-25=0，……10分

3点P到线段EF的距离

3

从而SΔPEF=.EF.d==.，……15分1