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2023全国数学联赛山东省预赛试题

一、填空题（每小题8分，共80分）

1、已知A=则集合C={m|m=xy,x∈A,y∈B}的元素

个数是.

2、已知：是.

3、已知关于x的方程x3+ax2+bx+c=0的三个非零实数根成等比数列，则a3c—b3的值是.

4、正方体ABCD—A1B1C1D1的底面A1B1C1D1内有一个动点M，且BM//平面AD1C，则tan上D1MD的最大值是.

5、数列中，a1=1，an+1=1+，那么an=.

6、已知x,y,z0，则f=的最小值是.

7、设ΔABC的内心为I，而且满足，则cos上B的值是.

8、已知双曲线H：x2—y2=1上第一象限内一点M，过M的作H的切线l，与双曲线H切于M，交H

→→的渐近线于P，Q两点（P在第一象限），R与Q在同一渐近线上.则R--P-.R--Q-的最小值为

→→

9、小张参加一次十道选择题的测试，做对一道得一分，做错一道扣一分，不做得零分．他的目标是至

少得7分，7分及格．小张现在确定他前六道题的答案是正确的，而剩下的每道题做对的概率为，小

张应该做多少道题，及格的概率最大.

10、设实数x,y使得x—y，x2—y2，x3—y3均为素数，则x—y的值是.

二、解答题（共70分）

11、（本题15分）

已知：O是ΔABC的外心，D,E分别是边AC,AB上的点.线段DE,BD,CE的中点分别为

P,Q,R.OH丄DE垂足为H.求证：P，Q，R，H四点共圆.

12、（本题15分）

在区间(22n,23n)中任取22n—1+1个奇数.求证：在所取出的数中，必有两个数，其中一个数的平方不能

被另一个数整除.

13、（本题20分）

已知：a,b,c为正实数.证明：(a2+2)(b2+2)(c2+2)≥9(ab+bc+ca).

14、（本题20分）

10×10的表格上填入1到100，第i行第j列填入10(i—1)+j.每次操作如下：取一个格子，或者将此格

数字减少2，将两个相对的邻格同时加1；或者将此格数字增加2，将两个相对的邻格同时减1.证明：如果经过一些步骤后表格中又得到1到100的数字，则它们是按原来的顺序排列的.