第4届全国大学生数学竞赛决赛试卷评分标准（非数学类）.docxVIP

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第四届全国大学生数学竞赛决赛试题评分细则

（非数学类，2013）

一、（本题25分）简答下列各题

1、计算

2.设f(u,v)具有连续偏导数，且满足fu(u,v)+fv(u,v)=uv求y(x)=e?2xf(x,x)所满,

足的一阶微分方程．并求其通解.

3.求在[0,+∞)上的可微函数f(x)，使f(x)=e?u(x)，其中.

4.计算不定积分∫xarctanxln(1+x2)dx.

5.过直线z=27作曲面3x2+y2?z2=27的切平面，求此切平面的方程.

2.解y=?2e?2xf(x,x)+e?2xfu(x,x)+e?2xfv(x,x)=?2y+x2e?2x因此，所求的一阶微分方程为

y+2y=x2e?2x

解得y=e?∫2dx∫x2e?2xe∫2dxdx+Ce?2x（C为任意常数）

3.解由题意

即有dt=?lnf

两边求导可得

f′(x)=?f2(x)，并且f(0)=e0=1

由此可求得.

(4分)

(1分)

(3分)(2分)

(2分)

(3分)

2

4.解由于

则原式=∫arctanxd

5.解设F(x,y,z)=3x2+y227，则曲面法向量为n-1={Fx,Fy,Fz}=2{3x,y,?z}

过直线z=27的平面束方程为

10x+2y?2z?27+λ(x+y?z)=0，即(10+λ)x+(2+λ)y?(2+λ)z?27=0其法向量为

n-2={10+λ,2+λ,?(2+λ)}设所求切点为P0(x0,y0,z0)，则

解得x0=3,y0=1,z0=1,λ=?1，或x0=?3,y0=?17,z0=?17,λ=?19

所求切平面方程为

9x+y?z?27=0或9x+17y?17z+27=0

(2分)

(3分)

（1分）

（1分）

（1分）

（2分）

二、（本题15分）设曲面Σ:z2=x2+y2,1≤z≤2,其面密度为常数ρ.求在原点处的质量为1的质点和Σ之间的引力(记引力常数为G).

解.设引力F=(Fx,Fy,Fz).由对称性Fx=0,Fy=0.(2分)

记,从原点出发过点(x,y,z)的射线与z轴的夹角为θ.则有cosθ=.

质点和面积微元dS之间的引力为

dF=G,而cosθ=Gρ(4分)

3

.(2分)

在z轴上的区间[1,2]上取小区间[z,z+dz],相应于该小区间有

dS=2πzdz=2πzdz.(3分)

而就有

三、（本题15分）设f(x)在[1,+∞)连续可导，

证明：存在.

证当t0时，对函数ln(1+x)在区间[0,t]上用拉格朗日中值定理，有

,0ξt.

由此得

取有

(5分)

所以，当x≥1时，有f(x)0，即f(x)在[1,+∞)上单调增加.(1分)

(4分)

故dt，所以f

即f(x)≤f(1)+1，f(x)有上界.