第1届全国大学生数学竞赛预赛试卷参考答案（非数学类）.docxVIP

首届全国大学生数学竞赛赛区赛试卷参考答案

（非数学类，2009）

一、填空题

dxdy=，其中区域D由直线x+y=1

与两坐标轴所围三角形区域.

（2）设f(x)是连续函数，满足f=3x2?dx?2，则

f(x)=.

（3）曲面+y2?2平行平面2x+2y?z=0的切平面方程是

.

（4）设函数y=y(x)由方程xef(y)=eyln29确定，其中f具有二阶导数，

且f′≠1，则=.

答案：，3x2?,2x+2y?z?5=0，?

二、求极限，其中n是给定的正整数.

解：原式=

其中大括号内的极限是型未定式，由L′Hospital法则，有

于是原式.

三、设函数连续,gdt，且=A,A为常数，求g′(x)并

讨论g′(x)在x=0处的连续性.

解：由题设，知f(0)=0，g(0)=0.

令u=xt，得g(x≠0)，从而(x≠0)

由导数定义有

由于

从而知g′(x)在x=0处连续.

四、已知平面区域D={(x,y)|0≤x≤π,0≤y≤π}，L为D的正向边界，试证：

（2）xesinydy?ye?sinxdx≥

证法一：由于区域D为一正方形，可以直接用对坐标曲线积分的计算法计算.

(1)左边πesinydy?πe?sinxdx=π

(2)由于esinx+e?sinx≥2+sin2x，

证法二：（1）根据Green公式，将曲线积分化为区域D上的二重积分

因为关于y=x对称，所以，故

由et+e?t=2≥2+t2

xesinydy?ye?sinxdx=π2.

五、已知y1=xex+e2x，y2=xex+e?x，y3=xex+e2x?e?x是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.

解：根据二阶线性非齐次微分方程解的结构的有关知识，由题设可知：e2x

与e?x是相应齐次方程两个线性无关的解，且xex是非齐次的一个特解.因此可以用下述两种解法

解法一：故此方程式y′′?y′?2y=f(x)将y=xex代入上式，得

f(x)=(xex)′′?(xex)′?2xex=2ex+xex?ex?xex?2xex=ex?2xex，因此所求方程为y′′?y′?2y=ex?2xex.

解法二：故y=xex+c1e2x+c2e?x，是所求方程的通解，

由y′=ex+xex+2c1e2x?c2e?x，y′′=2ex+xex+4c1e2x+c2e?x，消去c1,c2得所求方程为y′′?y′?2y=ex?2xex.

六、设抛物线y=ax2+bx+2lnc过原点，当0≤x≤1时，y≥0，又已知该抛物

线与x轴及直线x=1所围图形的面积为.试确定a,b,c,使此图形绕x轴

旋转一周而成的旋转体的体积V最小.解：因抛物线过原点，故c=1

由题设有即，

得代入b的表达式得所以y≥0，

又因|a=?及实际情况，当a=?c=1

时，体积最小.

七、已知un(x)满足

u

n

(x)=un(x)+xn?1ex（n为正整数），

且求函数项级数之和.

解：先解一阶常系数微分方程，求出un(x)的表达式，然后再求的

和.

由已知条件可知un′(x)?un(x)=xn?1ex是关于un(x)的一个一阶常系数线性微分