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第六届中国大学生数学竞赛决赛ò、二年级试卷
(数学类,2015年3月)
,考试形式:闭卷考试时间:180分钟满分:100分
,
题号一
题号
一
二
三
四
五
六
总分
满分
20
15
15
20
15
15
100
得分
姓名:准考证号
姓名:准考证号:所在院校:考生座位号:专业:
注意:1.所有答题都须写在此试卷纸密封线右边,写在其它纸上一律无效.
2.密封线左边请勿答题,密封线外不得有姓名及相关标记.
3.如答题空白不够,可写在当页背面,并标明题号.
密封线答题时不要超过此线,得分评阅人一、(本题20分,每小题5分)填空题
密封线答题时不要超过此线
,
得分
评阅人
(1)实二次型2x1x2-x1x3+5x2x3的规范型为
级数的和为
级数
(3)计算第一型曲面积分的值:
,(4)A=(aij)为n阶实对称矩阵(n1),rank(A)=n-1,A的每行元素之和均为0.设2,3,...,n为A的全部非零特征值.用A11表示A的元素a11所对应的代数余子式.则有A11=.
,
,
得分评阅人二、(本题15分)设空间中定点P到一定直线l的距离为p.一族球面中的每个球面都过点P,且截直线l得到的弦长都是定值a.求该球面族的球心的轨迹
得分
评阅人
姓名:准考证号
姓名:准考证号:所在院校:考生座位号:专业:
,
,
得分
评阅人
,
密封线答题时不要超过此线
密封线答题时不要超过此线
,
,
三
其中C表示复数域.试证明:8A∈Γ,A的Jordan标准形JA仍然属于Γ;进一步还存在可逆矩阵P∈Γ使得P-1AP=JA.
得分
评阅人
求满足不等式
的最大常数Q.
四、(本题20分)设
得分评阅人,五、(本题15分)设a(t),f(t)为实连续函数?8t∈R有f(t)0,a(t)1.,0∞f(t)dt=+∞.已知C2函数x(t)满足
得分
评阅人
,
姓名:准考证号:所在院校:考生座位号:专业:x,,(t)+a(t)f(x(t))≤0,8t∈R.求证:x(t)在[0,
姓名:准考证号:所在院校:考生座位号:专业:
,
密封线答题时不要超过此线
密封线答题时不要超过此线
,
,
得分评阅人六、(本题15分)设f(x)在区间[0,1]上连续可导,且f(0)=f(1)=0.求证
得分
评阅人
等号当且仅当f(x)=A(x-x3)时成立,其中A是常数.
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