2024_2025学年新教材高考数学第三章圆锥曲线的方程2.2双曲线第二课时精讲含解析新人教A版选择性必修第一册.docxVIP

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双曲线

考点一双曲线的离心率

【例1】（2024·云南省下关第一中学高二月考）若实数数列：1，，81成等比数列，则圆锥曲线的离心率是（）

A．或 B．或 C． D．或10

【答案】A

【解析】由1，，81成等比数列有：，所以，

当时，方程为，表示焦点在y轴的椭圆，

其中，，故离心率；

当时，方程为，表示焦点在x轴的双曲线，

其中，，故离心率,故选择A.

【一隅三反】

1．（2024·江苏南京）在平面直角坐标系xOy中，若点P(，0)到双曲线C：的一条渐近线的距离为6，则双曲线C的离心率为（）

A．2 B．4 C． D．

【答案】A

【解析】双曲线C：的一条渐近线为，则，解得，.故选：A.

2．（2024·贵州省思南中学高二期末（理））已知、为双曲线：的左、右焦点，点为双曲线右支上一点，，，则双曲线的离心率为（）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】依据题意作图如下：

设.

∵

∴

∵由双曲线焦半径公式知，

∴

∴故选C.

3．（2024·全国）已知，为双曲线的焦点，为与双由线的交点，且有，则该双曲线的离心率为（）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由题意知，

在中，，可设，则，

由勾股定理得，，

又由得，所以.

故选：C

4．（2024·沙坪坝.重庆八中高二月考）若双曲线（，）的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率为（）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】双曲线的一条渐近线经过点，

点在直线上，

．

则该双曲线的离心率为.

故选：．

考点二直线与双曲线的位置关系

【例2】已知双曲线x2－eq\f(y2,4)＝1，问当直线l的斜率k为何值时，过点P(1,1)的直线l与双曲线只有一个公共点．

【答案】见解析

【解析】①当直线l的斜率不存在时，直线l：x＝1与双曲线相切，符合题意．

②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－1)＋1，

代入双曲线方程，得(4－k2)x2－(2k－2k2)x－k2＋2k－5＝0.

当4－k2＝0，即k＝±2时，直线l与双曲线的渐近线平行，直线l与双曲线只有一个公共点．当4－k2≠0时，令Δ＝0，得k＝eq\f(5,2).

综上可知，当k＝eq\f(5,2)或k＝±2或直线l的斜率不存在时，过点P的直线l与双曲线都只有一个公共点．

【一隅三反】

1．（2024·福建高二期末（理））若直线与双曲线的右支交于不同的两点，则的取值范围是

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】把y＝kx＋2代入x2－y2＝6，得x2－(kx＋2)2＝6，

化简得(1－k2)x2－4kx－10＝0，由题意知

即解得＜k＜－1.

答案：D.

2．（2024·天水市第一中学高二月考（理））直线：与双曲线：的右支交于不同的两点，则斜率的取值范围是（）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由可得，，因为直线与双曲线交于不同的两点，所以，解得，所以斜率的取值范围是，故选C.

3．（2024·四川资阳）直线l：kx－y－2k＝0与双曲线x2－y2＝2仅有一个公共点，则实数k的值为

A．－1或1 B．－1

C．1 D．1，－1，0

【答案】A

【解析】因为直线l：kx－y－2k＝0过定点(2,0),而直线l：kx－y－2k＝0与双曲线x2－y2＝2仅有一个公共点，所以直线l：kx－y－2k＝0与双曲线渐近线平行，即实数k的值为－1或1，选A.

4．（2024·宁波市北仑中学高一期中）过双曲线2x2－y2＝2的右焦点作直线l交双曲线于A，B两点，若|AB|＝4，则这样的直线l的条数为()

A．1 B．2

C．3 D．4

【答案】C

【解析】设，

当直线与轴垂直时，，满意题意

当直线与轴不垂直时，设直线：，

联立直线与双曲线方程得：，整理得：，

所以，，又

=，解得：，

综上：满意这样的直线l的条数为3条

考点三弦长

【例3】（2024·全国高三课时练习）过双曲线的右焦点F2，倾斜角为30°的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，F1为左焦点．

(1)求|AB|；

(2)求△AOB的面积．

【答案】（1）；（2）.

【解析】(1)由双曲线的方程得，∴，F1(－3，0)，F2(3，0)．

直线AB的方程为．

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去y得5x2＋6x－27＝0.

∴，.

∴

(2)直线AB的方程变形为.

∴原点O到直线AB的距离为.

∴.

【一隅三反】

1．（2024·全国）已知直线y＝kx＋1与双曲线交于A，B两点，且|AB|＝8，则实数k的值为()

A．± B．±或±

C．± D．±

【答案】B

【解析】由直线与双曲线交于两点，得，将代入得，则，即.

设，，则，.