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第2课常用逻辑用语

普查与练习2常用逻辑用语

1．命题真假的判断

(1)(2018北京，5分)能说明“若f(x)f(0)对任意的x∈(0，2]都成立，则f(x)在[0，2]上是

增函数”为假命题的一个函数是__f(x)＝sinx__．

解析：答案不唯一，如f(x)＝sinx,f(x)＝－x(x－3)等．

(2)(2021山东聊城模拟，5分)如图所示，平面中两条直线l1与l2相交于点O，对于平面

上任意一点M，若p，q分别是M到直线l1与l2的距离，则称有序非负实数对(p，q)是点M

的“距离坐标”．给出下列四个命题：

①“距离坐标”为(1，0)的两点间距离为2；

②若p＝q，则点M的轨迹是一条过O点的直线；

③若pq≠0，则“距离坐标”为(p，q)的点有且仅有4个；

2323

④若直线l与l的夹角是60°，则|OM|＝2＋＋2或|OM|＝2－＋2.

12ppqqppqq

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提醒：可建立平面直角坐标系，设出点M的坐标，并将其用p，q表示，从而得出|OM|

的表达式．

其中所有真命题的序号为__③④__．

解析：①∵点的“距离坐标”为(1，0)，∴点到直线l1的距离为1，点到直线l2的距离为

0，即点在直线l2上．

在直线l上画出点P，P(P，P到直线l的距离均为1，即|PA|＝|PA|＝1)，如图1

2121211122

所示．

由图可知|OP|≥1，|OP|≥1，当l，l互相垂直时等号成立，

1212

∴|PP|≥1＋1＝2，故①错误．

12

图1

②若p＝q，则M在直线l，l相交所成角的平分线上，∴点M的轨迹是两条过O点的

12

直线，故②错误．

③如图2，作到直线l1距离为p的两条平行线，作到直线l2距离为q的两条平行线，则

四条直线的交点即为“距离坐标”为(p，q)的点，有且仅有4个，故③正确．

图2

④当直线l1与l2的夹角是60°时，直线l1与l2的位置如图3所示．以直线l2为x轴，垂

直于l的直线为y轴建立平面直角坐标系，则l：y＝3x，l：y＝0.

212

－

|3xy|

设M(x，y)，则p＝，q＝|y|，

2

y±2p1

22222

∴y＝±q，x＝，|OM|＝x＋y＝(y±2p)＋q，

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4