2024-2025学年天津外国语大学附属外国语学校高二（下）月考数学试卷（3月份）（含答案）.docxVIP

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2024-2025学年天津外国语大学附属外国语学校高二（下）3月月考

数学试卷

一、单选题：本题共6小题，每小题8分，共48分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设函数f(x)满足△x→0limf(x0?2△x)?f(

A.?1 B.1 C.?2 D.2

2.设f′(x)是函数f(x)的导函数，若函数f(x)的图象如图所示，则下列说法错误的是(????)

A.当1x4时，f′(x)0

B.当x1或x4时，f′(x)0

C.当x=1或x=4时，f′(x)=0

D.函数f(x)在x=4处取得极小值

3.已知x∈(0,π)，函数f(x)=excosx的递增区间为

A.(0,π2) B.(0,3π4)

4.函数f(x)=lnx?14x2

A. B.

C. D.

5.函数f(x)=ex+sinx在点(0,1)处的切线与直线2x?ay+1=0互相垂直，则实数a等于

A.?2 B.?4 C.?12

6.设f(x)是定义在R上的可导函数，且满足f′(x)?f(x)，对于任意的正数a，下面不等式恒成立的是(????)

A.f(a)eaf(0) B.f(a)eaf(0)

二、填空题：本题共4小题，每小题8分，共32分。

7.设f′(x)是函数f(x)的导函数，且f(x)=x3+2f′(1)?1，则f(1)=

8.已知实数a为函数f(x)=x3?3x2

9.若函数f(x)=x3+ax2+ax在

10.函数f(x)是定义在R上的偶函数.若对于任意两个不等实数x1，2x2∈(0,+∞)，不等式12

三、解答题：本题共4小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

11.(本小题17分)

求下列各函数的导数．

(1)y=ln(3x?2)；

(2)y=xe

12.(本小题17分)

已知a，b∈R函数f(x)=x3+ax2+bx+1在x=1处取得极值为?12，

(1)求a，b的值；

(2)求函数f(x)的单调区间和极值；

13.(本小题18分)

已知函数f(x)=ax?lnx?2(a∈R)．

(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；

(2)讨论函数f(x)的单调性；

(3)若对任意的x∈(1,+∞)，都有xlnx+xk(x?1)成立，求整数k的最大值．

14.(本小题18分)

已知函数f(x)=x(lnx?1)，g(x)=ax+b(a,b∈R)．

(1)若a=1时，直线y=g(x)是曲线f(x)的一条切线，求b的值；

(2)b=?3，且f(x)≥g(x)恒成立，求a的取值范围；

(3)令φ(x)=f(x)?g(x)，且φ(x)在区间[e,e2]上有零点，求

参考答案

1.A?

2.D?

3.C?

4.A?

5.B?

6.C?

7.6?

8.2?

9.[0,3]?

10.(?∞,?1)∪(1

11.解：(1)∵y=ln(3x?2)，∴y′=(3x?2)′3x?2=33x?2．

(2)∵y=xex，

13.

14.解：(1)当a=1时，g(x)=x+b，f′(x)=lnx，设切点为A(x0,f(x0))，

因为g(x)=x+b是f(x)的一条切线，

所以f′(x0)=lnx0=1，解得x0=e，

所以f(x0)=f(e)=0，

又切点A(e,0)在切线y=x+b上，

所以0=e+b，得b=?e．

(2)b=?3，令?(x)=f(x)?g(x)=x(lnx?1)?ax+3，

则?′(x)=lnx?a，令lnx?a=0，可得x=ea．

当x≥ea时，?′(x)≥0，?(x)单调递增，当0xea时，?′(x)0，?(x)单调递减，

所以?(x)≥?(ea)=?ea+3，即f(x)≥g(x)符合题意，

可得?ea+3≥0.可得a≤ln3．

a的取值范围为(?∞,ln3]．

(3)(解法1)φ(x)=x(lnx?1)?ax?b，φ′(x)=lnx?a．

若a≤1，则φ′(x)0在区间(e,e2)上恒成立，φ(x)在区间[e,e2]上单调递增．

因为φ(x)在区间[e,e2]上有零点，

所以解得?ae≤b≤e2?ae2，

所以a2+4b≥a2?4ae=(a?2e)2?4e2≥1?4e，

当a=1时，等号成立，此时b=?ae．

若1a2时，

当exea时，φ′(x)0，φ(x)在(1,ea)上单调递减；

当eaxe2时，φ′(x)0，φ(x)在(1,ea)上单调递增．

因为φ(x)在区间[e,e2]上有零点，

所以φ(ea)=ea(a?1)?aea?b=?ea?b≤0，所以b≥?ea，所以a2+4b≥a2?4ea．

令?(a)=a2?4ea，1a2，

则?′(a)=2a?4ea=2(a?2ea)0，所