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第四章导热问题的数值解法1第四章导热问题的数值解法

4-0引言求解导热问题的三种基本方法：(1)理论分析法；(2)数值计算法；(3)实验法三种方法的基本求解过程所谓理论分析方法，就是在理论分析的基础上，直接对微分方程在给定的定解条件下进行积分，这样获得的解称之为分析解，或叫理论解；数值计算法，把原来在时间和空间连续的物理量的场，用有限个离散点上的值的集合来代替，通过求解按一定方法建立起来的关于这些值的代数方程，从而获得离散点上被求物理量的值；并称之为数值解；

实验法就是在传热学基本理论的指导下，采用对所研究对象的传热过程所求量的方法三种方法的特点分析法能获得所研究问题的精确解，可以为实验和数值计算提供比较依据；局限性很大，对复杂的问题无法求解；分析解具有普遍性，各种情况的影响清晰可见

(2)数值法：在很大程度上弥补了分析法的缺点，适应性强，特别对于复杂问题更显其优越性；与实验法相比成本低(3)实验法:是传热学的基本研究方法，a适应性不好；b费用昂贵数值解法：有限差分法（finite-difference）、有限元法（finite-element）、边界元法（boundary-element）、分子动力学模拟（MD）

§4-1导热问题数值求解的基本思想

及内部节点离散方程的建立1物理问题的数值求解过程建立控制方程及定解条件确定节点（区域离散化）建立节点物理量的代数方程设立温度场的迭代初值求解代数方程是否收敛解的分析改进初场是否

2例题条件第四章导热问题的数值解法6二维矩形域内稳态无内热源，常物性的导热问题

01控制方程：是指描写物理问题的微分方程02针对图示的导热问题，它的控制方程（即导热微分方程）为：03其四个边的边界条件为三个边界条件中的一种，04三个边界条件为：

xynm(m,n)MN3基本概念：控制容积、网格线、节点、界面线、步长二维矩形域内稳态无内热源，常物性的导热问题

用一系列与坐标轴平行的网格线把求解区域划分成若干个子区域，用网格线的交点作为需要确定温度值的空间位置，称为节点(结点)，节点的位置用该节点在两个方向上的标号m，n表示。01点间的距离称步长。△x,△y02每个节点都可以看成是以它为中心的一个小区域的代表把节点代表的小区域称为元体（又叫控制容积）。03

4建立离散方程的常用方法：第四章导热问题的数值解法103241Taylor（泰勒）级数展开法；控制容积平衡法(也称为热平衡法)多项式拟合法；控制容积积分法；

第四章导热问题的数值解法11

截断误差未明确写出的级数余项中的ΔX的最低阶数为2若取上面式右边的前三项，并将式①和式③相加移项整理即得二阶导数的中心差分：同样可得：

对于二维稳态导热问题，在直角坐标中，其导热微分方程为：其节点方程为：

(2)控制容积平衡法(热平衡法)第四章导热问题的数值解法14基本思想：对每个有限大小的控制容积应用能量守恒，从而获得温度场的代数方程组，它从基本物理现象和基本定律出发，不必事先建立控制方程，依据能量守恒和Fourier导热定律即可。能量守恒：流入控制体的总热流量＋控制体内热源生成热＝流出控制体的总热流量＋控制体内能的增量即：单位：

?即：从所有方向流入控制体的总热流量＋控制体内热源生成热＝控制体内能的增量注意：上面的公式对内部节点和边界节点均适用

稳态、无内热源时：从所有方向流入控制体的总热流量＝0内部节点：(m,n)oyx(m-1,n)(m+1,n)(m,n-1)?x?x?y?y(m,n+1)

BDACE以二维、稳态、有内热源的导热问题为例可见：当温度场还没有求出来之前，我们并不知道假定温度呈分段线性分布，如图所示此时：所以，必须假设相邻节点间的温度分布形式，这里我们

(m,n)(m-1,n)(m+1,n)tm,ntm-1,ntm+1,n可见，节点越多，假设的分段线性分布越接近真实的温度布。此时：内热源：

时：

无内热源时：第四章导热问题