【北京】2023年全国高中数学联赛预赛试题.docxVIP

2023年全国高中数学联赛北京赛区预赛

一试

一、前8题每题8分，第9题16分，第10、11题每题20分

1.如图，∠ACB=90。，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是D,E．已知AD=8，BE=3，则DE=.

2.S是集合{1,2,···,2023}的子集，满足任意两个元素的平方和不是9的倍数，则|S|的最大值是．（这里|S|表示S的元素个数）

3.已知函数f(x)=sinωx+sin2x，其中ω∈N+，ω≤2023．若f(x)2恒成立，则满足题设的常数ω的个数为.

4.已知集合A={1,2,3}，映射f：A→A，且满足对任意x∈A，有f(f(x))≥x，则这样的f有个.

5.已知向量||=1，||=2，且，的夹角为120。．若+t与t+的夹角为锐角，则

t的取值范围是.

6.设实数x,y满足3，则x+y=.

7.已知在△ABC中，a=2b，cosB=，则sin+sin.

8.使得n2+2023n为完全平方数的正整数n的最小值是.

9.已知a,b为正整数，ab，且a,b互质．若关于x,y的不等式ax+by≤ab有且仅有2023组正整数解，则(a,b)=．（求出满足题意的所有可能数组）

10.已知x是一个锐角，那么的最小值是.

11.现有11位同学报名博物馆的志愿讲解活动，活动从上午9点开始到下午5点结束，每小时安排一场公益小讲堂，每场需要1位同学为参观的游客提供讲解服务．为避免同学们劳累，馆方在排班时不会让同一人连续讲解2场，并且第一场与最后一场需要两位不同的同学负责．则馆方共有 种排班方式.

二试

一、（40分）已知实数a1,a2,···,an0，求证：

其中a0=an，an+1=a1.

二、（40分）如图，△ABC为给定的锐角三角形，其内切圆ω分别与边AB,AC切于点K,L.高AH分别与∠ABC,∠ACB的平分线交于点P,Q．设ω1,ω2分别为△KPB,△LQC的外接圆，AH的中点在ω1,ω2外．求证：从AH的中点引向ω1和ω2的切线长相等.

三、（50分）某校举办数学文化节，据统计当天共有980多（不少于980，小于990）名同学进校参观，每位同学进校参观一段时间后离开（之后不会再进来）．若无论这些同学以怎样的时间安排参观，我们都能找到k位同学，使得要么这k位同学在某个时间都在校园内参观，要么任何时间他们中都没有两个人同时在校园内参观．求k的最大值.

四、（50分）求所有的正整数k≤100，使得存在整数n，满足3n6+26n4+33n2+1为k的倍数.