【答案】2023年全国高中数学联赛广西赛区预赛.docxVIP

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2023年全国中学生数学奥林匹克竞赛广西赛区选拔赛试题参考答案

（考试时间：2023年5月21日9：00-11：30）

一、填空题（本大题共8小题，每小题10分，共80分.）

1.nx22．3．4．1

5．36．（答案不唯一7.Φ8.

二、解答题（本大题共4小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

1.（本小题满分15分）设S0是以定点P0为球心半径为r的球面，π0是一个固定平面，P0到π0的距离ar．设SM是以点M为球心的球面，它与S0外切并与π0相切．令Λ为满足上述条件的球心M构成的集合．设平面π与π0平行且在π上有Λ中的点．设dΣ是平面π与π0之间的距离，求dΣ的最小值m.

解：过P0作π0的垂线，交π0为O．以O为原点，π0为xoy面建立空间坐标系使得P0的坐标为(0,0,a).

M(x,y,z)∈Λ当且仅当x2+y2+2，即z=

2.（本小题满分15分）设函数f(x)在区间I上有定义．若f(αx1+(1-α)x2)≤αf(x1)+(1-α)f(x2)对任意的实数x1，x2∈I和任意的α∈(0,1)恒成立，则称函数f(x)为区间I上的一个凸函数．例如，f(x)=ex是(-∞,+∞)上的一个凸函数.

设p1,q1,=1，xk0，yk0，a0，b0．利用上述相关知识证明：

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(1)(Young不等式bq≥ab；

(2)(Ho..lder不等式xkyk≤

证明：(1)由f(x)=ex是(一∞,+∞)上的一个凸函数可得

pqpq

由(1)(Young不等式)可得从而有因此，xkyk≤AB=

3.（本小题满分20分）设0≤ak≤9，a=0.a1a2a3…an…

其中a1a2a3…an…中有无限多项不为0，则称a为一个十进制无限小数．设a为一个十进制无限小数．若存在自然数n,k使得an+i=an+k+i对任意的自然数i均成立，则称a为一个循环小数；否则，称a为一

兀

个不循环小数．例如，0.19898…98…和0.8=0.799…9…是循环小数=0.314159…是一个不循

环小数．已知(0,1]的每一个数均与一个十进制无限小数一一对应.

(1)求证:若(a,b)(0,1)，则存在循环小数c∈(a,b)．即：循环小数在(0,1)中稠密.

(2)求证:(0,1]中所有的数不能排列成一个数列α1,α2,α3,…,αn,…，即：(0,1]是一个不可数集.

(3)用分数表示循环小数a=0.365365…365….

证明/解：(1)设(a,b)(0,1)，记a0=b0=0,a=0.a1a2a3…an…，b=0.b1b2b3…bn…．由ab可知存在正整数k，ai=bi(0≤i≤k一1),akbk.

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b1b2b3…bn…中有无限多项不为0，故存在mk,bm≠0.

令ci=bi(0≤i≤m-1)，cm=0,ci=1(im),c=0.c1c2c3…cn…则c为循环小数且c∈(a,b).因此，循环小数在(0,1)中稠密.

(2)假设(0,1]中所有的数可以排列成一个数列α1,α2,α3,…,αn,…．记αk=0.ak1ak2ak3…akn…．若akk=9，则取ak=8；若akk9，则取ak=1+akk．令a=0.a1a2a3…an…