2024-2025学年七年级数学下册举一反三系列（沪科版2024）专题8.3 完全平方公式与平方差公式【十大题型】（举一反三）（沪科版2024）（解析版）.docx

专题8.3完全平方公式与平方差公式【十大题型】

【沪科版2024】

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【题型1利用乘法公式进行简便运算】 2

【题型2利用乘法公式求代数式的值】 4

【题型3由完全平分式求字母的值】 5

【题型4平方差公式的几何背景】 7

【题型5完全平方公式的几何背景】 12

【题型6乘法公式的应用】 16

【题型7乘法公式的证明】 19

【题型8由乘法公式求最值】 23

【题型9乘法公式的规律探究】 25

【题型10乘法公式中的新定义问题】 29

知识点：乘法公式

1．平方差公式

（1）平方差公式

语言叙述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．这个公式叫做（乘法的）平方差公式．

（2）平方差公式的特点

①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数．

②右边是相同项的平方减去相反项的平方．

③公式中的a和b可以表示具体的数或单项式，也可以是多项式．

2．完全平方公式

（1）完全平方公式

，

语言叙述：两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍．这两个公式叫做（乘法的）完全平方公式．

（2）完全平方公式的特点：两个公式的左边都是一个二项式的平方，二者仅有一个“符号”不同；右边都是二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方，中间一项是左边二项式中两项乘积的2倍，二者也仅有一个“符号”不同．

【题型1利用乘法公式进行简便运算】

【例1】（23-24八年级·江苏盐城·期中）用简便方法计算：502?49×51=．

【答案】1

【分析】考查平方差公式的相关应用，熟练掌握平方差公式是解题的关键；

按照平方差公式将49×51进行转化为50?1×

【详解】50

=

=

=

=1．

故答案为：1．

【变式1-1】（23-24八年级·宁夏银川·阶段练习）计算：

(1)99×101；

(2)20012

【答案】(1)9999

(2)4004000

【分析】本题考查平方差公式，（1）利用平方差公式进行计算即可；

（2）利用平方差公式进行计算即可．

【详解】（1）解：原式=

=10

=10000?1

=9999；

（2）解：原式2001+1

=2002×2000

=4004000．

【变式1-2】（23-24八年级·上海徐汇·阶段练习）计算：201920192

【答案】2019.

【分析】原式利用数的变形化为平方差公式2020×2018=(2019+1)(2019?1)=2019

【详解】解：∵2020×2018=(2019+1)(2019?1)=

故答案是：2019.

【点睛】此题考查了用平方差公式进行简便计算，熟悉公式特点是解本题的关键．

【变式1-3】（23-24八年级·湖南怀化·期末）计算：1012÷1?1

【答案】2023

【分析】利用平方差公式将1?1n2

【详解】解：1012÷

=1012÷1?1

=1012÷

=1012÷

=1012×

=2023

故答案为：2023．

【点睛】本题考查利用平方差公式进行简便运算，解题的关键是将1?1n2

【题型2利用乘法公式求代数式的值】

【例2】（23-24八年级·重庆渝中·阶段练习）已知x2=2y+5，y2=2x+5(x≠y)，则x3+2x2y2+y3的值为．

【答案】?12

【分析】首先根据题意得出x2?y2=x+yx?y=2y?x

【详解】∵x2=2y+5，

∴x2?y

∵x≠y，而x+yx?y

∴x+y=?2，

∴x2

∴xy=?1，

∴x3

故答案为：?12.

【点睛】本题主要考查了乘法公式的综合运用，熟练掌握相关公式及方法是解题关键.

【变式2-1】（23-24八年级·山东聊城·期末）若x+2y=8，x2+4y2

【答案】7

【分析】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．根据完全平方公式进行计算即可．

【详解】解：∵x+2y=8，x2

∴(x+2y)

∴x

∴xy=7，

故答案为：7．

【变式2-2】（23-24八年级·江苏盐城·期中）如果a2?2a=1，那么代数式a(a?2)+(a?1)

A．?1 B．1 C．3 D．2

【答案】C

【分析】本题考查了整式的化简求值；分别利用单项式乘多项式法则与完全平方公式展开，再合并同类项，最后整体代入即可．

【详解】解：a(a?2)+

=

=2

=2(a

当a2

原式=2×1+1

=3．

故选：C．

【变式2-3】（23-24八年级·重庆北碚·期末）已知a，b满足a2+1b2

【答案】5

【分析】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．由a?12≥0，