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第19课平面向量基本定理及坐标表示

普查与练习19平面向量基本定理及坐标表示

1．平面向量基本定理及其应用

a．基底的判断

(1)(2023汇编，5分)下面几种说法中，正确的是__②⑤__．(填序号)

①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；

②零向量不可以作为基底中的向量；

，∈

③a＝λe＋μeλμR可以表示平面内的所有向量；

12()

④若e，e是平面α内不共线的两个向量，则e－2e与4e－2e可作为表示平面α内所

121221

有向量的一组基底；

⑤e，e是平面内不共线的两个向量，若λe＋μe＝0，则λ＝μ＝0；

1212

⑥同一向量在不同基底下的表示是相同的；

⑦若e，e是平面α内不共线的两个向量，则对于平面α内的任意向量a，使a＝λe＋

121

，

μe2成立的实数对(λμ)有无穷多个．

解析：①错误：只要是不共线的一对向量就可以作为表示该平面内所有向量的基底，基

底的选取并不是唯一的；②正确：零向量和任何向量都共线，与基底的定义不符；③错误：

1

根据平面向量基本定理可知，e，e必须是不共线向量；④错误：因为e－2e＝－(4e－

12122

2

2e)，所以向量e－2e，4e－2e是共线向量，不能作为表示平面α内所有向量的一组基底；

11221

⑤正确：因为e，e为一组不共线向量，若λe＋μe＝0,即λe＝－μe，只有当λ＝μ＝0时，

121212

才能成立；⑥错误：基底不同，向量的表示也不同，当基底确定后，向量的表示才是唯一的；

⑦错误：根据平面向量基本定理可知，实数对(λ，μ)应该只有唯一一对．

b．用已知基底表示向量

(2)(2021广东中山月考，5分)我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”

给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正

→→→→

方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，若＝a，＝b，＝3，则

BCBABEEF

→

BF＝(B)

12916124334

A.a＋bB.a＋bC.a＋bD.a＋b

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