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第44课分类加法计数原理与分步乘法计数原理

普查与练习44分类加法计数原理与分步乘法计数原理

1．分类加法计数原理的应用

(1)(2020吉林模拟，5分)一只蚂蚁从正四面体ABCD的顶点A出发，沿着正四面体的棱

爬行，每秒爬一条棱，每次爬行的方向是随机的，则蚂蚁第1秒后到点B，第4秒后又回到

点A的不同爬行路线有(B)

A．6条B．7条

C．8条D．9条

解析：(法一)要使第4秒后回到点A，则第3秒后一定在B，C，D的其中一点．

因为蚂蚁第1秒后到点B，则第2秒后可能到点A，C，D.

当第2秒后在点A时，第3秒后可能到B，C，D中的任一点，共3种情况；

当第2秒后在点C时，第3秒后可能到B，D中的任一点，共2种情况；

当第2秒后在点D时，第3秒后可能到B，C中的任一点，共2种情况．

故不同的爬行路线有3＋2＋2＝7(条)．故选B.

(法二)根据已知，可作出下图．由图知不同的爬行路线有7条．故选B.

(2)(经典题，5分)定义“规范01数列”{a}如下：{a}共有2m项，其中m项为0，m项

nn

为1，且对任意k≤2m，a，a，…，a中0的个数不少于1的个数．若m＝4，则不同的“规

12k

范01数列”共有(C)

A．18个B．16个

C．14个D．12个

解析：(法一)由题意得，必有a＝0，a＝1，则具体的排法列表如下：

18

由列表可知，不同的“规范01数列”共有14个．故选C.

(法二)由题意可知，m＝4时，数列{a}中共有8项，其中有4项为0，有4项为1，且对

n

于任意的k≤8，a，a，…，a中0的个数不少于1的个数，则a必为0，a必为1，下面

12k18

对a2的取值进行分类讨论：

①当a＝0时，只要a，a，a不全为1即可，即a，a，a中至少有一个为0.

2345345

当a，a，a中只有一个为0时，a，a两项中一项为0，一项为1，此时共有3×2＝6(种)

34567

满足条件的情形；

当a，a，a中有两个为0时，a，a全为1，此时共有3种满足条件的情形．

34567

故当a＝0时，共有6＋3＝9(种)满足条件的情形；

2

②当a＝1时，则a＝0，对a进行分类讨论：

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当a＝0时，a，a，a中任一项为0都满足条件，此时有3种情形；

4567

当a＝1时，a＝0，此时a，a中任一项为0都满足条件，有2种情形．

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