第45课 排列与组合.DOCXVIP

第45课排列与组合

普查与练习45排列与组合

1．排列问题

a．无限制条件的排列问题

(1)(经典题，5分)有7本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，则不同的送法有__210__种．(用数字作答)

解析：从7本不同的书中选3本送给3名同学，即从7个元素中任取3个元素的一个排列，∴共有Aeq\o\al(3,7)＝7×6×5＝210(种)不同的送法．

b．有限制条件的排列问题

(2)(2020辽宁抚顺一模，5分)把书架上的《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》《五曹算经》《孙子算经》这5本中国古代数学专著重新排列一下，若要求《周髀算经》和《九章算术》这2本书相邻，则所有不同排法的种数为(C)

A．120B．96C．48D．24

解析：根据题意，可分2步进行分析：

①将《周髀算经》和《九章算术》看成一个整体，与其他3本书进行全排列，有Aeq\o\al(4,4)＝24(种)排法；

②将《周髀算经》和《九章算术》进行排列，有Aeq\o\al(2,2)＝2(种)排法．

根据分步乘法计数原理，可知共有24×2＝48(种)不同的排法．故选C.

(3)(2021浙江杭州期中，4分)包含甲、乙在内的5人站成一行，如果甲、乙不相邻，那么不同的排法种数是(C)

A．12B．36C．72D．120

解析：根据题意，分2步进行分析：①先把除甲、乙外的其他三人排成一排，有Aeq\o\al(3,3)＝6(种)情况，排好后有4个空位；②在4个空位中，任选2个，安排甲、乙，有Aeq\o\al(2,4)＝12(种)情况．∴共有6×12＝72(种)不同的排法．故选C.

(4)(2020山东模拟，5分)如图，《宋人扑枣图轴》是作于宋朝的中国古画，现收藏于中国台北故宫博物院．该作品简介：院角的枣树结实累累，小孩群来攀扯，枝桠不停晃动，粒粒枣子摇落满地，有的牵起衣角，有的捧着盘子拾取，又玩又吃，一片兴高采烈之情，跃然于绢素之上．甲、乙、丙、丁四人想根据该图编排一个舞蹈，舞蹈中他们要模仿该图中小孩扑枣的爬、扶、捡、顶四个动作，四人每人模仿一个动作．若他们采用抽签的方式来决定谁模仿哪个动作，则甲不模仿“爬”且乙不模仿“扶”的结果有__14__种．

解析：设事件A表示甲不模仿“爬”且乙不模仿“扶”，则：

①若甲模仿“扶”，则A包含1×Aeq\o\al(3,3)＝6(个)基本事件；

②若甲模仿“捡”或“顶”，则A包含2×2×Aeq\o\al(2,2)＝8(个)基本事件，

综上，A包含6＋8＝14(个)基本事件．

故答案为14.

(5)(2021北京海淀区校级期中，4分)将A，B，C，D，E排成一列，要求A，B，C在排列中顺序为“A，B，C”或“C，B，A”(可以不相邻)，这样的排列数为(C)

A．12B．20C．40D．60

解析：五个元素没有限制的全排列数为Aeq\o\al(5,5)，由于要求A，B，C的次序一定(按A，B，C或C，B，A)，故除以这三个元素的全排列数Aeq\o\al(3,3)再乘2，可得这样的排列数为eq\f(Aeq\o\al(5,5),Aeq\o\al(3,3))×2＝40.故选C.

2．组合问题

a．无限制条件的组合问题

(6)(2020山东，5分)6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有(C)

A．120种B．90种C．60种D．30种

解析：先从6名同学中选1名去甲场馆，选法有Ceq\o\al(1,6)种；

再从余下的5名同学中选2名去乙场馆，选法有Ceq\o\al(2,5)种；

余下的3名同学都去丙场馆，选法有Ceq\o\al(3,3)种．

所以不同的安排方法共有Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(3,3)＝60(种)．故选C.

(7)(2021重庆期末，5分)平面内有两组平行线，一组有3条，另一组有4条，且这两组平行线相交，可以构成不同的平行四边形个数为(D)

A．10B．12C．16D．18

解析：因为平面内有两组平行线，一组有3条，另一组有4条，且这两组平行线相交，因此从这两组直线中各选两条直线，即可构成平行四边形，所以构成不同的平行四边形个数为Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(2,4)＝18.故选D.

b．有限制条件的组合问题

(8)(2023汇编，16分)从7名男生、5名女生中选取5人，分别求符合下列条件的选法总数．

(Ⅰ)A，B必须当选；

答案：120种

解析：解：由于A，B必须当选，那么从剩下的10人中任意