数量积与向量积.pptxVIP

数量积与向量积启示实例两向量作这样的运算,结果是一个数量.定义一、两向量的数量积

logo结论两向量的数量积等于其中一个向量的模和另一个向量在这向量的方向上的投影的乘积.数量积也称为“点积”、“内积”.

证证关于数量积的说明：

数量积符合下列运算规律：（1）交换律：（2）分配律：（3）若为数若、为数：证明（1）、（3）由定义可证余下证明（2）

仅就下图所示的情形给出证明，其它情形可01仿此证明02

数量积的坐标表达式设

两向量夹角余弦的坐标表示式由此可知两向量垂直的充要条件为

解

证

例3应用向量证明Cauchy—Schwarz不等式证记则

例4应用向量证明直径所对的圆周角是直角证如图所示xyoABC圆的方程：设A点的坐标为则

例5设是三个单位向量始于同一点O且证明它们终点的连线构成一等边三角形证一ABCO又

由同理故它们终点的连线构成等边三角形证二由得又

同理故由余弦定理，有故它们终点的连线构成等边三角形

实例二、两向量的向量积

定义关于向量积的说明：//向量积也称为“叉积”、“外积”.

向量积符合下列运算规律：（1）（2）分配律：（3）若为数证////

向量积的坐标表达式设

向量积还可借助于三阶行列式表示由上式可推出//

例如，补充

解

解三角形ABC的面积为

解

三、向量的混合积定义设混合积的坐标表达式

（1）向量混合积的几何意义：关于混合积的说明：——轮换对称性

证明由共面设由混合积的几何意义知得共面

LOGO解例9

解

式中正负号的选择必须和行列式的符号一致.

例11设是四个已知向量，其中不共面，试利用矢量运算将表示为的线性组合[分析]依题意其中x,y,z待定为求得x，须消去y,z由上式可见，若能用一个与都垂直的向量，则y,z可同时消去，自然想到解设有

与上式两端作点积，得以由于不共面同理又由轮换对称性知

向量的混合积向量的数量积（结果是一个数量）向量的向量积（结果是一个向量）（结果是一个数量）（注意共线、共面的条件）四、小结

思考题

思考题解答