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微积分基础研究、教学之沿革与现况

沈卫国（2024年5月27日）

其实，与其说是什么“微积分基础研究之现况”，对很多人而言，还不如说是“微积

分基础没有研究之现况”，“微积分基础鲜有人研究之现况”，总之，真正研究的人很少就是

了。对一个千百万人都要涉及、学习的“学问”而言，就这么心安理得地教给学生们错误的

东西，是毁三观的、是完全超乎想象的。特别是在笔者彻底揭示微积分的真谛，明确指出传

统极限法微积分的症结所在的极简逻辑发布多年后仍旧如此，彻底暴露出这个行当的本来面

目。

诚如已故微积分大家任德麟教授在其«微积分原理与严格的理论基础»一书中所言：“据

笔者学习数学和从事数学教学的体会，要真正理解数学中的一些基本概念的内涵和一些重要

命题的实质绝非易事。从这个意义上讲，学过微积分甚至从事微积分教学多年的人未见得真

正懂得微积分。”

值得信赖的数学大家陶哲轩最近说也说，很多搞数学的人匆匆学过一些基础的东西，就

不再回头细琢磨了，一切以别人的结论为结论，换言之，就算别人是对的，然后再在此基础

上搞自己的东西，（大意）

印象很深的，是数学大家项武义先生的一次访谈（好像是在台湾），他很严厉地批评了

那些数学学者毫不关心数学的基础教育，完全放任不管。他最后一句话我印象极深，他说：

“其实他们也不懂”。这就是说，像前面提到的任德麟说的一样，别以为这些人就彻底搞清

了一些数学中的最基本的东西，

言归正传。最近，偶然了解到一些第一线的大学教师、教授居然为了什么无穷小的比

较大小、谁是“高阶”无穷小，谁趋0速度快等问题争论了几十年，真是大为诧异。我这才

意识到，很多资深“行内人”，是居然连无穷小与极限的区别都没有搞清！于是我专门在网

上重新购得（曾经学过的课本是找不到了）我当年曾经“系统地学过”或“系统地受过训练”

的那本樊映川编著的、著名的«高等数学»，翻开一看，可不是咋地，那上面也赫然大写特写

“无穷小”啥的，俨俨然无穷小与极限就是一回事的架势。还居然给出了无穷小的定义“趋

于0的那个变量本身”。我这才有点恍然大悟了：怪不得我提出的微积分新论点这么多年了

却鲜有人问津呢，原来对很多数学教师、教授、学生（更不用说了）而言，连第一代微积分

与第二代微积分的区别都没有搞清楚，对他们而言，敢情一上学就是这么学的（其实也包括

我自己，不过我已经忘了）：第一代就是第二代，第二代就是第一代，没有任何区别，无穷

小与极限，也没有区别，是一回事，是一个问题的两个侧面而已。既然如此认识，还要什么

标新立异的其它观点呢？当然不需要。事实上，这有时也难怪，其实要说极限法与无穷小究

竟有什么区别？那也是后者错的干净利落、简单明确、毫不掩饰，而前者错的矫揉造作、拐

弯抹角、虚张声势、隐晦暗涩而已。大家无论在教与学中，都觉得极限法不好理解，还是无

穷小直接了当：不就是舍了一个无穷小吗（高阶与否另说了）？大不了导数值就是一个近似

而已，微积分就算是一个近似理论，又如何了？于是，很多人拐弯抹角地，又从第二代的极

限法返回第一代的无穷小微积分，省得啰嗦了。没人深究，也就算了。无人提出问题，就是

没有问题；没人指出错误，就是正确。这也就是大多数数学中人的所谓的“微积分基础研究

（或更确切地是“不研究”、“没研究”）现况”。

曾经做过武汉大学校长的齐民友教授在其大作«重温微积分»P75中说，如果一个函

数在某点的导数为0（比如二次函数在x0点的导数），则△y0+o（h），在二次函数

下就是△y0+△x，即在该点的切线为一条水平线。总不能说0是函数增量△y的主要2

部分吧？同样，△x也不是什么“高阶无穷小”吧。2

就算我们舍弃的，就是一个高阶的、更小的无穷小（按前面齐民友的说法，还真不一

定！），那我们舍弃了它，就是为了得到一个并不精确的（差无穷小的）值吗？明明已经得到

了只要加上了个无穷小就是精确的那个函数值了，却偏偏非要再舍弃这个已经精确的、只不

过多了个还是“高阶”的无穷小的函数值中的那个“无穷小”，而得到一个与精确值相差一

个高阶无穷小的非精确值？加上这个无穷小（且无论高阶与否），得到原本就精确的那个值

不是挺好的吗？笔者吃惊地发现，很多甚至是专业的数学人，都持导数不过是个非精确的近

似值的看法。我说闹了半天笔者的观点少人问津呢，既然导数（对应于物理中的瞬时速度！）

不过是个近似的东西，我们又何必如此认真呢？记得某“数学大佬”对记者说什么“数学是

真理