2024_2025新教材高中数学第三章圆锥曲线与方程3.2第一课时抛物线的几何性质学案苏教版选择性必.docVIP

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第一课时抛物线的几何性质

新课程标准解读

核心素养

1.了解抛物线的几何图形及简洁几何性质

直观想象

2.通过抛物线方程的学习，进一步体会数形结合的思想，了解抛物线的简洁应用

数学运算

某公园要建立一个如图①的圆形喷水池，在水池中心垂直于水面安装一个花形柱子OA，O恰在水面中心，OA＝0.81米，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形态相同的抛物线路径落下，且在过OA的任一平面上抛物线路径如图②所示．为使水流形态较为美丽，设计成水流在与OA水平距离为1米处达到距水面最大高度2.25米．

[问题]在上述情境中，不考虑其他因素，那么水池的半径至少要多少米才能使喷出的水不落到池外？

学问点抛物线的几何性质

标准方程

y2＝2px(p0)

y2＝－2px(p0)

x2＝2py(p0)

x2＝－2py(p0)

图形

性质

焦点

Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))

Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))

Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))

Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))

准线

x＝－eq\f(p,2)

x＝eq\f(p,2)

y＝－eq\f(p,2)

y＝eq\f(p,2)

范围

在y轴右侧

在y轴左侧

在x轴上面

在x轴下面

对称轴

x轴

y轴

顶点

O(0，0)

离心率

e＝1

开口方向

向右

向左

向上

向下

在同一坐标系下试画出抛物线y2＝x，y2＝2x和y2＝3x的图象，你能分析影响抛物线开口大小的量是什么吗？

提示：影响抛物线开口大小的量是参数p，p值越大，抛物线的开口越大，反之，开口越小．

1．顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离为3的抛物线的标准方程为()

A．x2＝±3y B．y2＝±6x

C．x2＝±12y D．y2＝±12x

解析：选C可设抛物线方程为x2＝2py(p＞0)或x2＝－2py(p＞0)，依题意知eq\f(p,2)＝3，∴p＝6.∴抛物线方程为x2＝±12y.

2．设抛物线的焦点到顶点的距离为6，则抛物线上的点到准线的距离的取值范围是()

A．(6，＋∞) B．[6，＋∞)

C．(3，＋∞) D．[3，＋∞)

解析：选B∵抛物线的焦点到顶点的距离为6，

∴eq\f(p,2)＝6，即p＝12.

又抛物线上的点到准线距离的最小值为eq\f(p,2)，

∴抛物线上的点到准线距离的取值范围为[6，＋∞)．

抛物线的几何性质

[例1](链接教科书第106页例1)已知双曲线方程是eq\f(x2,8)－eq\f(y2,9)＝1，求以双曲线的右顶点为焦点的抛物线的标准方程及抛物线的准线方程．

[解]因为双曲线eq\f(x2,8)－eq\f(y2,9)＝1的右顶点坐标为(2eq\r(2)，0)，所以eq\f(p,2)＝2eq\r(2)，且抛物线的焦点在x轴正半轴上，所以所求抛物线的标准方程为y2＝8eq\r(2)x，其准线方程为x＝－2eq\r(2).

eq\a\vs4\al()

求抛物线方程的步骤

[留意]求抛物线的方程时要留意抛物线的焦点位置，不同的焦点设出不同的方程．

[跟踪训练]

已知抛物线的对称轴在坐标轴上，以原点为顶点，且经过点M(1，－2)，求抛物线的标准方程和准线方程．

解：当抛物线的焦点在x轴上时，设其标准方程为y2＝mx(m≠0)．将点M(1，－2)代入，得m＝4.

∴抛物线的标准方程为y2＝4x；

当抛物线的焦点在y轴上时，设其标准方程为x2＝ny(n≠0)．

将点M(1，－2)代入，

得n＝－eq\f(1,2).

∴抛物线的标准方程为x2＝－eq\f(1,2)y.

故所求的抛物线的标准方程为y2＝4x或x2＝－eq\f(1,2)y.

准线方程分别为x＝－1或y＝eq\f(1,8).

抛物线性质的应用

[例2](1)已知正三角形AOB的一个顶点O位于坐标原点，另外两个顶点A，B在抛物线y2＝2px(p＞0)上，求这个三角形的边长．

(2)已知A，B是抛物线y2＝2px(p＞0)上两点，O为坐标原点，若|OA|＝|OB|，且△AOB的垂心恰是此抛物线的焦点，求直线AB的方程．

[解](1)如图所示，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则yeq\o\al(2,1)＝2px1，yeq\o\al(2,2)＝2