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陕西数学联考试卷及答案

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）

1.若函数f(x)=x^2+2x+1，则f(-1)的值为（）

A.0

B.1

C.2

D.3

2.已知a，b，c是△ABC的三边，且a^2+b^2=13，ab+bc+ca=12，则c的值为（）

A.2

B.3

C.4

D.5

3.函数y=x^3-3x的导数为（）

A.3x^2-3

B.3x^2+3

C.x^2-3

D.x^2+3

4.已知直线l的倾斜角为α，且tanα=2，则直线l的斜率为（）

A.2

B.-2

C.√2

D.-√2

5.已知向量a=(2,-1)，b=(1,3)，则向量a与向量b的数量积为（）

A.5

B.-1

C.1

D.-5

6.已知函数f(x)=x^2-4x+3，则f(x)的最小值为（）

A.-1

B.0

C.1

D.3

7.已知等比数列{an}的首项a1=2，公比q=3，则a5的值为（）

A.486

B.243

C.81

D.27

8.已知双曲线C：x^2/a^2-y^2/b^2=1（a0，b0），若双曲线C的一条渐近线方程为y=√2x，则b/a的值为（）

A.√2

B.√3

C.2

D.3

二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

9.已知函数f(x)=x^3+3x^2+2，求f(x)=________。

10.设等差数列{an}的首项a1=1，公差d=2，则a5=________。

11.已知直线l：y=x+1与抛物线C：y^2=4x交于A，B两点，则|AB|=________。

12.已知椭圆E：x^2/a^2+y^2/b^2=1（ab0），离心率为√3/2，且椭圆E的一条短轴端点为(0,1)，则a=________。

三、解答题（本题共4小题，共40分）

13.（本题满分10分）

已知函数f(x)=x^3-3x，求f(x)的单调区间和极值。

解：首先求导数f(x)=3x^2-3，令f(x)=0，解得x=±1。

当x∈(-∞,-1)∪(1,+∞)时，f(x)0，f(x)单调递增；

当x∈(-1,1)时，f(x)0，f(x)单调递减。

因此，f(x)的单调递增区间为(-∞,-1)和(1,+∞)，单调递减区间为(-1,1)。

当x=-1时，f(x)取得极大值f(-1)=2；当x=1时，f(x)取得极小值f(1)=-2。

14.（本题满分10分）

已知等比数列{an}的首项a1=1，公比q=2，求前n项和Sn。

解：由等比数列前n项和公式，Sn=a1(1-q^n)/(1-q)，

代入a1=1，q=2，得Sn=(1-2^n)/(1-2)=2^n-1。

15.（本题满分10分）

已知直线l：y=2x+3与抛物线C：y^2=8x交于A，B两点，求|AB|。

解：将直线l的方程代入抛物线C的方程，得(2x+3)^2=8x，化简得4x^2+6x+9-8x=0，即4x^2-2x+9=0。

解得x1+x2=1/2，x1x2=9/4。

由弦长公式，|AB|=√(1+k^2)|x1-x2|=√(1+2^2)√((x1+x2)^2-4x1x2)=√5√(1/4-9)=√5。

16.（本题满分10分）

已知椭圆E：x^2/a^2+y^2/b^2=1（ab0），离心率为√3/2，且椭圆E的一条短轴端点为(0,1)，求椭圆E的方程。

解：由题意可知，b=1，离心率e=c/a=√3/2，又a^2=b^2+c^2，联立解得a=2，c=√3。

因此，椭圆E的方程为x^2/4+y^2=1。

四、附加题（本题满分10分）

17.（本题满分10分）

已知函数f(x)=x^4-4x^3+6x^2-4x+1，求f(x)的零点。

解：首先求导数f(x)=4x^3-12x^2+12x-4，令f(x)=0，解得x=1。

当x∈(-∞,1)时，f(x)0，f(x)单调递增；

当x∈(1,+∞)时，f(x)0，f(x)单调递减。

因此，f(x)在x=1处取得极大值f(1)=0，即f(x)的一个零点为x=1。

又因为f(0)=10，f(2)=10，所以f(x)在(0,2)内没有零点。

综上所述，f(x)的零点为x=1。