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8.5课时1平方差公式
1.理解并掌握平方差公式的推导和应用.2.理解平方差公式的结构特征,灵活应用平方差公式解决问题.
多项式与多项式是如何相乘的?(x+3)(x+5)=x2+5x+3x+15=x2+8x+15.(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn
1.计算:(1)(x+1)(x-1)=_______.(2)(a+2)(a-2)=_______.(3)(2x+1)(2x-1)=________.(4)(a+b)(a-b)=________.思考:1.上面四个式子中,两个乘式之间有什么特点?2.乘积合并同类项后是几项式?这个多项式有什么特点?
(a+b)(a-b)=a2-b2.两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差.这个公式叫做平方差公式.
如图(a),将边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形,并将剩余部分沿虚线剪开,得到两个长方形,再将这两个长方形拼成如图(b)所示的长方形.ab图(a)aba-b图(b)解:图(b)中的面积为(a+b)(a-b),图(a)中的剩余部分的面积为a2-b2.由题可知,图(b)的面积为图(a)剩余部分的面积,所以(a+b)(a-b)=a2-b2.思考:1.两个图形的面积有什么关系?2.结合图形,说说平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2有什么几何背景?
化简xyx2-y2?????????13y?(x+y)(x-y)????按要求填写下面的表格????
例1计算:ab解:利用平方差公式计算,必须找到相同的项和互为相反数的项
abab
(3m+2n)(3m-2n)变式一(-3m+2n)(-3m-2n)变式二(-3m-2n)(3m-2n)=(-3m)2-(2n)2变一变,你还能做吗?=(-2n)2-(3m)2=(3m)2-(2n)2对于不符合平方差公式标准形式的算式,可以先利用加法交换律,将其变成公式的标准形式后,再用公式计算.
平方差公式注:这里的两数可以是两个单项式也可以是两个多项式等.(a+b)(a-b)=(a)2-(b)2相同为a相反为b适当交换合理加括号
1.下面各式的计算对不对?如果不对,应当怎样改正?(1)(x+2)(x-2)=x2-2(2)(-3a-2)(3a-2)=9a2-4不对改正:(1)(x+2)(x-2)=x2-4不对改正方法1:(-3a-2)(3a-2)=-[(3a+2)(3a-2)]=-(9a2-4)=-9a2+4改正方法2:(-3a-2)(3a-2)=(-2-3a)(-2+3a)=(-2)2-(3a)2=4-9a2
(1)(a+3b)(a-3b);=4a2-9;=4x4-y2;原式=(2a+3)(2a-3)=a2-9b2;=(2a)2-32原式=(-2x2)2-y2原式=(9x2-16)-(6x2+5x-6)=3x2-5x-10.解:原式=(a)2-(3b)2(2)(3+2a)(-3+2a);(4)(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2).(3)(-2x2-y)(-2x2+y);2.利用平方差公式计算:
3.计算:解:原式=20152-(2015-1)(2015+1)=20152-(20152-12)=20152-20152+12=1.原式=(50+1)(50-1)=502-12=2500-1=2499;(1)51×49;(2)20152-2014×2016.
4.利用平方差公式计算:(1)(a-2)(a+2)(a2+4);解:原式=(a2-4)(a2+4)=a4-16;(2)(x-y)(x+y)(x2+y2)(x4+y4).原式=(x2-y2)(x2+y2)(x4+y4)=(x4-y4)(x4+y4)=x8-y8.5.已知a-b=2,b-c=2,a+c=14,求a2-b2的值.把b-c=2,a+c=14相加得:a+b=16,所以a2-b2=(a-b)(a+b)=2×16=32.解:
6.探究活动:(1)如图①,可以求出阴影部分的面积是________(写成两数平方差的形式);(2)若将图①中阴影部分裁剪下来,重新拼成一个长方形如图②,面积是_______________(写成多项式乘法的形式);(3)比较图①、图②阴影部分的面积,可以得到公式____________________________.a2-b2(a+b)(a-b)(a+b)(a-b)=a2-b2
平方差公式内容注意事项两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差紧紧抓住“一同一反”这一特征,在
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