2024-2025学年七年级数学下册举一反三系列（沪科版2024）专题8.2 整式的乘法【十大题型】（举一反三）（沪科版2024）（原卷版）.docx

专题8.2整式的乘法【十大题型】

【沪科版2024】

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【题型1由整式乘除法求代数式的值】 2

【题型2由整式乘除法求字母的值】 3

【题型3利用整式乘除法解决不含某项问题】 3

【题型4利用整式乘除法解决与某个字母取值无关的问题】 4

【题型5利用整式乘除法解决污染问题】 4

【题型6利用整式乘除法解决误看问题】 5

【题型7整式乘除法的应用】 5

【题型8整式乘除法中的规律问题】 7

【题型9整式乘除法中的新定义问题】 8

【题型10整式乘除法中的几何图形问题】 9

知识点：整式的乘法、除法

1．单项式与单项式相乘

法则：一般地，单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．

（1）只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里，注意不要把这个因式遗漏．

（2）单项式与单项式相乘的乘法法则对于三个及以上的单项式相乘同样适用．

（3）单项式乘单项式的结果仍然是单项式．

【注意】

（1）积的系数等于各项系数的积，应先确定积的符号，再计算积的绝对值．

（2）相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算．

2．单项式与多项式相乘

法则：一般地，单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．

用式子表示：m（a+b+c）=ma+mb+mc（m，a，b，c都是单项式）．

【注意】

（1）单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同，可以以此来检验在运算中是否漏乘某些项．

（2）计算时要注意符号问题，多项式中每一项都包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号．

（3）对于混合运算，应注意运算顺序，有同类项必须合并，从而得到最简结果．

3．多项式与多项式相乘

（1）法则：一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．

（2）多项式与多项式相乘时，要按一定的顺序进行．例如（m+n）（a+b+c），可先用第一个多项式中的每一项与第二个多项式相乘，得m（a+b+c）与n（a+b+c），再用单项式乘多项式的法则展开，即

（m+n）（a+b+c）=m（a+b+c）+n（a+b+c）=ma+mb+mc+na+nb+nc．

【注意】

（1）运用多项式乘法法则时，必须做到不重不漏．

（2）多项式与多项式相乘，仍得多项式．在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积．

4．单项式除以单项式

单项式除以单项式法则：一般地，单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．

单项式除以单项式法则的实质是将单项式除以单项式转化为同底数幂的除法运算，运算结果仍是单项式．

【归纳】该法则包括三个方面：（1）系数相除；（2）同底数幂相除；（3）只在被除式里出现的字母，连同它的指数作为商的一个因式．

【注意】可利用单项式相乘的方法来验证结果的正确性．

5．多项式除以单项式

多式除以单项式法则：一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．

【注意】

（1）多项式除以单项式是将其化为单项式除以单项式问题来解决，在计算时多项式里的各项要包括它前面的符号．

（2）多项式除以单项式，被除式里有几项，商也应该有几项，不要漏项．

（3）多项式除以单项式是单项式乘多项式的逆运算，可用其进行检验．

【题型1由整式乘除法求代数式的值】

【例1】（23-24九年级上·安徽铜陵·期中）已知a2+a?1=0，则代数式a+2a?2+aa+2

【变式1-1】（23-24八年级·福建泉州·期中）若a?b=3，ab=?4，则a?2b+2值为

【变式1-2】（23-24八年级·山东聊城·期中）如果5?a6+a=12，那么?2a

【变式1-3】（23-24八年级·福建·期中）已知x2?3x?1=0，则代数式x3

【题型2由整式乘除法求字母的值】

【例2】（23-24八年级·安徽合肥·期中）已知(x+a)(x+b)=x2+mx+12，m、a、b都是整数，那么m的可能值的个数为(????

A．4 B．5 C．6 D．8

【变式2-1】（23-24八年级·江苏扬州·期中）若x+1x?3=x2+mx?3

【变式2-2】（23-24八年级·浙江杭州·期中）不论x为何值，(x+2)(x+a)=x2+ax+2x+2a=x2+(a+2)x+2a

【变式2-3】（23-24八年级·浙江温州·期中）关于x的整式A=2x+1，它的各项系数之和为∶2+1=3(常数项系数为常数项