2024-2025学年七年级数学下册举一反三系列（沪科版2024）专题8.3 完全平方公式与平方差公式【十大题型】（举一反三）（沪科版2024）（原卷版）.docx

专题8.3完全平方公式与平方差公式【十大题型】

【沪科版2024】

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【题型1利用乘法公式进行简便运算】 2

【题型2利用乘法公式求代数式的值】 2

【题型3由完全平分式求字母的值】 2

【题型4平方差公式的几何背景】 3

【题型5完全平方公式的几何背景】 4

【题型6乘法公式的应用】 6

【题型7乘法公式的证明】 7

【题型8由乘法公式求最值】 9

【题型9乘法公式的规律探究】 9

【题型10乘法公式中的新定义问题】 10

知识点：乘法公式

1．平方差公式

（1）平方差公式

语言叙述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．这个公式叫做（乘法的）平方差公式．

（2）平方差公式的特点

①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数．

②右边是相同项的平方减去相反项的平方．

③公式中的a和b可以表示具体的数或单项式，也可以是多项式．

2．完全平方公式

（1）完全平方公式

，

语言叙述：两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍．这两个公式叫做（乘法的）完全平方公式．

（2）完全平方公式的特点：两个公式的左边都是一个二项式的平方，二者仅有一个“符号”不同；右边都是二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方，中间一项是左边二项式中两项乘积的2倍，二者也仅有一个“符号”不同．

【题型1利用乘法公式进行简便运算】

【例1】（23-24八年级·江苏盐城·期中）用简便方法计算：502?49×51=．

【变式1-1】（23-24八年级·宁夏银川·阶段练习）计算：

(1)99×101；

(2)20012

【变式1-2】（23-24八年级·上海徐汇·阶段练习）计算：201920192

【变式1-3】（23-24八年级·湖南怀化·期末）计算：1012÷1?1

【题型2利用乘法公式求代数式的值】

【例2】（23-24八年级·重庆渝中·阶段练习）已知x2=2y+5，y2=2x+5(x≠y)，则x3+2x2y2+y3的值为．

【变式2-1】（23-24八年级·山东聊城·期末）若x+2y=8，x2+4y2

【变式2-2】（23-24八年级·江苏盐城·期中）如果a2?2a=1，那么代数式a(a?2)+(a?1)

A．?1 B．1 C．3 D．2

【变式2-3】（23-24八年级·重庆北碚·期末）已知a，b满足a2+1b2

【题型3由完全平分式求字母的值】

【例3】（23-24八年级·全国·课后作业）若多项式4x2+Q+1是完全平方式，请你写出所有满足条件的单项式Q

【变式3-1】（23-24八年级·山东青岛·期末）若x2?kx+36是一个完全平方式，则k=

【变式3-2】（23-24八年级·陕西宝鸡·期末）已知x2+2k+1x+16是一个完全平方式，则

A．2 B．3或?5 C．1 D．±2

【变式3-3】（23-24八年级·上海长宁·期中）填空：已知多项式x2+

【题型4平方差公式的几何背景】

【例4】（23-24八年级·安徽六安·期中）如图，边长为a的大正方形是由1个边长为b的小正方形和4个形状大小完全相同的梯形组成．

(1)用含a，b的代数式表示其中一个梯形的面积：_________；

(2)请用两种不同的方法计算图中阴影部分的面积，由此，你能得到一个怎样的公式？

【变式4-1】（23-24八年级·浙江杭州·期中）两个大小不一的正方形①和②如图1放置时，AB=a，CD=b．现有①和②两种正方形各四个，摆放成如图2所示形状，那么阴影部分的面积可用a，

A．4a2?4b2 B．4ab

【变式4-2】（23-24八年级·陕西咸阳·阶段练习）【知识生成】

（1）我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式，例如：从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形如图1，然后将剩余部分拼成一个长方形如图2．图1中剩余部分的面积为______，图2的面积为______，请写出这个代数恒等式；

【知识应用】

（2）应用（1）中的公式，完成下面任务：若m是不为0的有理数，已知P=a+2ma?2m，Q=a+ma?m，比较

【知识迁移】

（3）事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图3表示的是一个边长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图3中图形的变化关系，通过计算写出一个代数恒等式．

??

【变式4-3】（23-24八年级·河南濮阳·阶段练习）如图1，边长为a的大正方形内有一个边长为b的小正方形．

??

（1）用含字母的代数式表示图1中阴影部分的面积为________