压轴题型07 阿波罗尼斯圆问题(解析版)-2023年高考数学压轴题专项训练.pdf

压轴题07阿波罗尼斯圆问题

在近几年的高考中，以阿波罗尼斯圆为背景的考题不断出现，备受命题者的青睐，下面

我们通过一例高考题，讲解如何运用阿波罗尼斯圆进一步加强对与此圆与关试题的认识。

背景展示

阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨

匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，

阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一.

求证：到两定点的距离的比值是不等于1的常数的点的轨迹是圆.

如图，点为两定点，动点满足，

A,BPPAPB

则时，动点的轨迹为直线；当时，动点的轨迹为圆，

1P1P

后世称之为阿波罗尼斯圆．

AB2m（m0）,PAPBABABx

证明：设．以中点为原点，直线为轴建立平面直

角坐标系，则A（m，0），B（m，0）．

又设C（x，y），则由PAPB得:2222，

(xm)y(xm)y

两边平方并化简整理得:2222222，

（1）x2m（1）x（1）ym（1）

当1时，x0，轨迹为线段AB的垂直平分线；

22222m

1224m1

当1时，(x2m)y22，轨迹为以点(2m,0)为圆心，以2

1(1)11

长为半径的圆．

热点题型隐形的阿波罗尼斯圆

○○○○

典型例题

例1、如图，圆与轴相切于点，与轴正半轴交于两点A,B（B在A的上方），

CxT(1,0)y

且AB2．

y

B

C

N

MA

OTx

（Ⅰ）圆的标准方程为；（Ⅱ）过点任作一条直线与圆22相交于

CAO:xy1

．．

NAMANBMANBMA

M,N两点，下列三个结论：①；②2；③22．

NBMBNAMBNAMB

其中正确结论的序号是.（写出所有正确结论的序号）

2

2

解析：（Ⅰ）易知半径r