2023-2024学年安徽省马鞍山二中高一（下）期中数学试卷【答案版】.docxVIP

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2023-2024学年安徽省马鞍山二中高一（下）期中数学试卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知直线a，b和平面α，a?α，b∥α，则“a∥b”是“a∥α”的（）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

2．如图所示，梯形A′B′C′D′是平面图形ABCD用斜二测画法画出的图形，A′D′＝2B′C′＝2，A′B′＝1，则平面图形ABCD的面积为（）

A．2 B．22 C．3 D．32

3．过长方体的一个顶点的三条棱的长分别为3，4，5，且它的八个顶点都在同一个球面上，这球的表面积是（）

A．202π B．252π C．50π D．200π

4．古希腊数学家特埃特图斯（Theaetetus）利用如图所示的直角三角形来构造无理数．已知AB＝BC＝CD＝2，AB⊥BC，AC⊥CD，若DB→=λAB→+μ

A．-22 B．22 C．2+1

5．在△ABC中，若asinB=3bcosA，且sinC＝2sinAcosB，那么△ABC

A．等腰直角三角形 B．直角三角形

C．等腰三角形 D．等边三角形

6．中国古代数学的瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体是上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如图所示的曲池，AA1垂直于底面，AA1＝5，底面扇环所对的圆心角为π2，弧AD的长度是弧BC长度的3倍，CD＝2

A．曲池的表面积为10+7π B．曲池的体积为10π3

C．曲池的表面积为20+14π D．曲池的体积为15π

7．已知△ABC的外接圆圆心为O，且OA→?OC→+

A．14BC→ B．34BC→ C

8．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，6（sinA﹣sinC）＝sinB，a2＝5c2+2accosB，且△ABC的面积为15，则△ABC的周长为（）

A．6+26 B．4+15 C．6+4 D．

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9．复数a+bi与c+di的积是纯虚数，则需满足下列哪些条件（）

A．ac＝bd B．ac≠bd C．bc＝﹣ad D．bc≠﹣ad

10．在△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠A＝60°，D是BC边上靠近B的三等分点，则下列说法正确的是（）

A．AD→=13AC

C．AD=373 D

11．已知圆O半径为2，弦AB＝2，点C为圆O上任意一点，则下列说法正确的是（）

A．AB→?BO→=2 B．AB

C．|OC→-AB→-AO→|∈[0，4]

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12．已知向量a→，b→满足|a→|＝|b→|＝2，＜a→，b→＞

13．设复数z1，z2，满足|z1|=|z2|=2，z1-z2=

14．已知A，B，C，D是表面积为20π的球体表面上四点，若AB＝4，AC＝2，BC=23，且三棱锥A﹣BCD的体积为23，则线段CD长度的最大值为

四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（13分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝BB1＝2，M，N，P分别为A1B1，AC，BC的中点．

（Ⅰ）求证：MN∥平面BCC1B1；

（Ⅱ）求三棱锥B﹣PMN的体积．

16．（15分）已知复数z1=m+(4-m2)i(m∈R)，z

（1）若z1为虚数，求m的取值范围；

（2）求λ的取值范围．

17．（15分）已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，且3csinA+acosC＝b+c．

（1）求A；

（2）若BC＝4，将射线BA和CA分别绕点B，C顺时针旋转15°，30°，旋转后相交于点D（如图所示），且∠DBC＝30°，求AD．

18．（17分）如图，在△ABC中，已知AB＝2，AC＝6，∠BAC＝60°，M是BC中点，N是AC上靠近A的三等分点，AM，BN相交于点P．

（1）AP→=mAB→+n

（2）求∠MPN的余弦值．

19．（17分）已知：

①任何一个复数z＝a+bi都可以表示成r（cosθ+isinθ）的形式．其中r是复数z的模，θ是以x轴的非负半轴为始边，向量OZ→所在射线（射线OZ）为终边的角，叫做复数z＝a+bi的辐角，r（cosθ+isinθ）叫做复数z＝a+bi

②方程xn＝1（n为正整数）有n个不同的复数根；

（1）求证：r1（cosθ1