2024_2025学年新教材高中数学第8章数学建模活动一1走近数学建模学案北师大版必修第一册.docVIP

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走近数学建模

一、实际问题

1．视察实际情景，发觉和提出问题

中国茶文化博大精深．茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．阅历表明，某种绿茶用85℃的水泡制，再等到茶水温度降至60℃时饮用，可以产生最佳口感．那么在25℃室温下，刚泡好的茶水大约须要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？

明显，假如能建立茶水温度随时间改变的函数模型，那么就能简单地解决这个问题．为此，须要收集一些茶水温度随时间改变的数据，再利用这些数据建立适当的函数模型．

2．收集数据

我们可以利用秒表、温度计等工具(若用计算机、数据采集器、温度传感器等信息技术更好)，收集茶水温度随时间改变的数据．

例如，某探讨人员每隔1min测量一次茶水温度，得到表1的一组数据．

表(1)

时间/min

0

1

2

3

4

5

水温/℃

85.00

79.19

74.75

71.19

68.19

65.10

3．分析数据

茶水温度是时间的函数，但没有现成的函数模型．为此，可以先画出散点图，利用图象直观分析这组数据的改变规律，从而帮助我们选择函数类型．

设茶水温度从85℃起先，经过xmin后的温度为y℃.依据表(1)，画散点图(图(1))．

图(1)

视察散点图的分布状况，并考虑到茶水温度降至室温就不能再降的事实，可选择函数y＝kax＋25(k∈R,0a1，x≥0)来近似地刻画茶水温度随时间改变的规律．

4．建立模型

依据实际状况可知，当x＝0时，y＝85，可得k＝60.

为了求出温度的衰减比例a，可从第2min的温度数据起先，计算每分(y－25)的值与上一分(y－25)值的比值，列出表(2)．

表(2)

x

0

1

2

3

4

5

y－25

60.00

54.19

49.75

46.19

43.19

40.10

比值

0.9032

0.9181

0.9284

0.9351

0.9285

计算各比值的平均值，得

a＝eq\f(1,5)(0.9032＋0.9181＋0.9284＋0.9351＋0.9285)＝0.9227.

我们把这个平均值作为衰减比例，就得到一个函数模型y＝60×0.9227x＋25(x≥0)．①

5．检验模型

将已知数据代入①式，或画出函数①的图象(图(2))，可以发觉，这个函数模型与实际数据基本吻合，这说明它能较好地反映茶水温度随时间的改变规律．

图(2)

6．求解问题

将y＝60代入y＝60×0.9227x＋25，得

60×0.9227x＋25＝60.

解得x＝log0.9227eq\f(7,12).

由信息技术得x≈6.6997.

所以，泡制一杯最佳口感茶水所需时间大约是7min.

上述过程可以概括为：

二、数学建模活动的选题

请同学们仿照上述过程开展一次建立函数模型解决实际问题的活动．可以接着探讨不同室温下泡制一杯最佳口感茶水所需的时间，也可以从下列选题中选择一个：

1．应在炒菜之前多长时间将冰箱里的肉拿出来解冻？

2．依据某一同学的身高和体重，推断该同学是否超重．

3．用微波炉或电磁炉烧一壶开水，找到最省电的功率设定方法．

4．估计阅读一本书所须要的时间．

也可以依据自己的爱好，与老师协商后确定一个课题进行探讨．

三、数学建模活动的要求

1．组建合作团队

数学建模活动须要团队协作．首先，在班级中组成3～5人的探讨小组，每位同学参与其中一个小组．在小组内，要确定一个课题负责人，使每位成员都有明确的分工．拟定探讨课题、确定探讨方案、规划探讨步骤、编制探讨手册，然后在班里进行一次开题报告．

2．开展探讨活动

依据开题报告所规划的探讨步骤，通过背景分析、数据收集、数据分析、数学建模、获得结论等过程，完成课题探讨．在探讨过程中，可以借助信息技术解决问题．

3．撰写探讨报告

以小组为单位，撰写一份探讨报告．

4．沟通展示

(1)对同一个课题，先由3～4个小组进行小组沟通，每个小组都展示自己的探讨成果，相互借鉴、取长补短．在小组探讨报告的基础上形成大组的探讨报告．选定代表，制作向全班汇报的演示文稿．

(2)与老师一起进行全班探讨成果展示与沟通，在各组代表作探讨报告的基础上，通过质疑、辩论、评价，总结成果，共享体会，分析不足．开展自我评价、同学评价和老师评价，完成本次数学建模活动．

四、数学建模活动探讨报告的参考形式

建立函数模型解决实际问题

________年________班完成时间：

1.课题名称

2.课题组成员及分工

3.选题的意义

4.探讨安排(包括对选题的分析、解决问题的思路等)

5.探讨过程(收集数据、分析数据、建立模型、求解模型的过程，以及过程中出现的难点及解决方案等)

6.探讨结果