抛物线的几何性质.pptxVIP

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2．3.2抛物线的几何性质

一只很小的灯泡发出的光，会分散地射向各方，但把它装在圆柱形的手电筒里，经过适当调节，就能射出一束比较强的平行光线，这是为什么呢？原来手电筒内，在小灯泡后面有一个反光镜，镜面的形状是一个由抛物线绕轴旋转所得到的曲面，叫做抛物面．人们已经证明，抛物线有一条很重要的性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴．探照灯也是利用这个原理设计的．

抛物线有几个焦点？提示：一个焦点．有人说“抛物线是双曲线的一支”，这句话对吗？提示：不对．抛物线有渐近线吗？提示：没有．

抛物线的简单几何性质

类型y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0)性质焦点准线范围对称轴顶点离心率开口方向x≥0，y∈Rx≤0，y∈Rx∈R，y≥0x∈R，y≤0x轴y轴O(0,0)e＝1向右向左向上向下

抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它可以无限延伸，但它没有渐近线物线只有一条对称轴，没有对称中心．抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线，这与椭圆、双曲线不同．抛物线的离心率e＝1(定值)．

抛物线与双曲线都是“开放型”曲线，但抛物线不能看作是双曲线的一支．抛物线方程中的参数p的几何意义是焦点到准线的距离，由方程y2＝2px(p≠0)知，对同一个x，p越大，|y|也越大，说明抛物线开口越大．

[例1]抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x2＋4y2＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程．[思路点拨]解答本题可先确定椭圆的短轴，从而确定抛物线的焦点位置，再写出标准方程即可．

[一点通]用待定系数法求抛物线方程的步骤：

答案：C1．顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离等于3的抛物线的标准方程是 ()A．x2＝±3yB．y2＝±6xC．x2＝±12y D．x2＝±6y

答案：y2＝5x在平面直角坐标系xOy中，有一定点A(2,1)，若线段OA的垂直平分线过抛物线y2＝2px(p0)的焦点，则该抛物线的标准方程是________．

[例2]正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y2＝2px(p0)上，求这个正三角形的边长．[思路点拨]先证明x轴是它们的公共对称轴，再求三角形边长．

[一点通]抛物线的几何性质在解与抛物线有关的问题时具有广泛的应用，但是在解题的过程中又容易忽视这些隐含的条件．本题的关键是根据抛物线的对称性和正三角形的性质证明A，B两点关于x轴对称．另外，抛物线方程中变量x，y的范围也是常用的几何性质．

答案：B等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2＝2px(p0)，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则Rt△ABO的面积是()A．8p2 B．4p2C．2p2 D．p2

答案：CPART1

[例3]已知过抛物线y2＝4x的焦点F的弦长为36，求弦所在的直线方程．[思路点拨]由弦所在直线经过焦点(1,0)，且弦长为36，可知直线的斜率存在且不为0，只需求出直线的斜率即可．[精解详析]∵过焦点的弦长为36，∴弦所在的直线的斜率存在且不为零．故可设弦所在直线的斜率为k，且与抛物线交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点．

[一点通]解决过焦点的直线与抛物线相交有关的问题时，一是注意直线方程和抛物线方程联立得方程组，再结合根与系数的关系解题，二是注意焦点弦长、焦半径公式的应用．解题时注意整体代入思想的运用，简化运算．

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