2024-2025学年七年级数学下册举一反三系列（沪科版2024）专题8.1 幂的运算【八大题型】（举一反三）（沪科版2024）（解析版）.docx

专题8.1幂的运算【八大题型】

【沪科版2024】

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【题型1由幂的运算进行求化简求值】 3

【题型2由幂的运算进行简便运算】 4

【题型3由幂的运算进行整体代入求值】 6

【题型4由幂的运算求字母的值】 7

【题型5由幂的运算表示代数式】 9

【题型6由幂的运算比较大小】 11

【题型7由幂的运算确定字母之间的关系】 14

【题型8幂的运算中的新定义问题】 16

知识点：幂的运算

1．同底数幂的乘法

一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n，am·an=·==．

语言叙述：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．

【拓展】（1）同底数幂的乘法法则的推广：三个或三个以上同底数幂相乘，法则也适用．

（m，n，…，p都是正整数）．

（2）同底数幂的乘法法则的逆用：am+n=am·an（m，n都是正整数）．

2．幂的乘方

（1）幂的乘方的意义：

幂的乘方是指几个相同的幂相乘，如（a5）3是三个a5相乘，读作a的五次幂的三次方，（am）n是n个am相乘，读作a的m次幂的n次方．

（2）幂的乘方法则：

一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n，

．

语言叙述：幂的乘方，底数不变，指数相乘．

【拓展】

幂的乘方的法则可推广为（m，n，p都是正整数）．

（2）幂的乘方法则的逆用：（m，n都是正整数）．

3．积的乘方

（1）积的乘方的意义：

积的乘方是指底数是乘积形式的乘方．如（ab）3，（ab）n等．

（积的乘方的意义）

=（a·a·a）·（b·b·b）（乘法交换律、结合律）

=a3b3．

积的乘方法则：

一般地，对于任意底数a，b与任意正整数n，

．

因此，我们有．

语言叙述：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．

4．同底数幂的除法

同底数幂的除法法则：

一般地，我们有（a≠0，m，n都是正整数，并且mn）．

语言叙述：同底数幂相除，底数不变，指数相减．

【拓展】

（1）同底数幂的除法法则的推广：当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质，

例如：（a≠0，m，n，p都是正整数，并且mn+p）．

（2）同底数幂的除法法则的逆用：（a≠0，m，n都是正整数，并且mn）．

【题型1由幂的运算进行求化简求值】

【例1】（23-24八年级·河南周口·期末）若a2n=2（n为正整数），则（4a3n

【答案】8

【分析】利用幂的乘方与积的乘方的法则进行运算即可．

【详解】解：当a2n

（

=16

=16×

=16×8÷

=16×8÷16

=8．

故答案为：8．

【点睛】本题主要考查幂的乘方与积的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．

【变式1-1】（23-24八年级·重庆南川·期末）已知3m=2，2n=3

【答案】12

【分析】本题考查了幂的乘方的逆运算，代数式求值．熟练掌握幂的乘方的逆运算，代数式求值是解题的关键．

根据9m

【详解】解：由题意知，9m

故答案为：12．

【变式1-2】（23-24八年级·湖北黄石·期末）已知50a=20，8b=20，则1a+

【答案】2

【分析】本考查同底数幂的乘法的逆用和幂的乘方的逆用，掌握运算法则即可解题．

【详解】解：∵50a=20，

∴50=201a

∴20

∴20

∴1a

故答案为：2．

【变式1-3】（23-24八年级·湖南株洲·期末）已知2x+y=16,4x+

【答案】4

【分析】根据已知可得：x+y=42(x+12

【详解】解：∵2x+y=16，

∴x+y=4，

∵4x+12

∴2(x+1

联立得：x+y=42(x+

解得：x=?1y=5

∴23x+y

故答案为：4．

【点睛】本题考查了同底数幂的乘法的逆运算，根据题意得出x+y=42(x+

【题型2由幂的运算进行简便运算】

【例2】（23-24八年级·湖南邵阳·期末）计算：?512

【答案】5

【分析】本题考查积的乘方的逆运算、同底数幂乘法的逆运算，根据积的乘方的逆运算和同底数幂乘法的逆运算进行计算即可．

【详解】解：?

=

=

=

=?1×

=5

故答案为：5

【变式2-1】（23-24八年级·上海普陀·期末）简便计算：(?13)

【答案】1

【详解】原式=(?13)100×

【变式2-2】（23-24八年级·上海奉贤·期中）用简便方法计算：35

【答案】?5×

【分析】根据题意先将化为指数相同的数的乘积，然后进行计算即可求解．

【详解】解：35

=[3×

=[

=5×(?10)

=?5×10

【点睛】本题考查了有理数的混合运算，积的乘方运算，掌握积的乘方，有理数的乘方的运算法则是解题的关键．

【变式2-3】（23-24八年级·吉林长春·阶段练习）用简便方法计算：(?4

【答案】?1

【分析】