2024-2025学年七年级数学下册举一反三系列（沪科版2024）专题8.4 因式分解【十大题型】（举一反三）（沪科版2024）（原卷版）.docx

专题8.4因式分解【十大题型】

【沪科版2024】

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【题型1整式乘法与因式分解的关系】 2

【题型2利用因式分解求值】 3

【题型3利用因式分解进行简便运算】 3

【题型4利用因式分解解决整除问题】 4

【题型5利用因式分解确定三角形的形状】 4

【题型6因式分解的实际应用】 5

【题型7利用整体思想进行因式分解】 6

【题型8因式分解中的新定义问题】 8

【题型9利用添项进行因式分解】 9

【题型10利用拆项进行因式分解】 9

知识点1：因式分解

1．因式分解

定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．

（1）因式分解是针对多项式而言的，一个单项式本身就是数与字母的积，不需要再分解因式；

（2）因式分解的结果是整式的积的形式，积中几个相同因式的积要写成幂的形式；

（3）因式分解必须分解到每一个因式都不能再分解为止；

（4）因式分解与整式乘法是方向相反的变形，二者不是互为逆运算．因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算．

2．用提公因式法分解因式

（1）公因式的定义：一个多项式各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式．

（2）怎样确定公因式（五看）：

一看系数：若各项系数都是整数，应提取各项系数的最大公因数；

二看字母：公因式的字母是各项相同的字母；

三看字母的指数：各相同字母的指数取指数最低的；

四看整体：如果多项式中含有相同的多项式，应将其看成整体，不要拆开；

五看首项符号：若多项式中首项符号是“-”，则公因式的符号一般为负．

（3）提公因式法的定义：

一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．

（4）提公因式法分解因式的一般步骤：

①确定公因式：先确定系数，再确定字母和字母的指数；

②提公因式并确定另一个因式；

③把多项式写成这两个因式的积的形式．

（1）多项式的公因式提取要彻底，当一个多项式提取公因式后，剩下的另一个因式中不能再有公因式．

（2）提公因式后括号内的项数应与原多项式的项数一样．

（3）若多项式首项系数为负数时，通常要提出负因数．

3．用平方差公式分解因式

（1）平方差公式的等号两边互换位置，得

语言叙述：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积．

（2）特点：①等号左边是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反；

②等号右边是两个数的和与这两个数的差的积．

4．用完全平方公式分解因式

（1）完全平方公式的等号两边互换位置，得

，

语言叙述：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方．

（2）特点：①等号左边是三项式，其中首末两项分别是两个数（或两个式子）的平方，且这两项的符号相同，中间一项是这两个数（或两个式子）的积的2倍，符号正负均可．

②等号右边是这两个数（或两个式子）的和（或差)的平方．当中间的乘积项与首末两项符号相同时，是和的平方；当中间的乘积项与首末两项的符号相反时，是差的平方．

（3）公式法的定义：

如果把乘法公式的等号两边互换位置，就可以得到用于分解因式的公式，用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法．

【题型1整式乘法与因式分解的关系】

【例1】（23-24八年级·全国·单元测试）已知x+3是kx2+x+12的一个因式，则k=

【变式1-1】（23-24·安徽马鞍山·八年级期末）若多项式x2?2x+2k因式分解后结果是x+2x+k，则k

【变式1-2】（23-24八年级·上海长宁·期中）已知多项式x2+ax?2可分解为两个整系数的一次因式的积，则a=

【变式1-3】（23-24八年级·广西贵港·期中）在将x2+mx+n因式分解时，小刚看错了m的值，分解得(x?1)(x+6)；小芳看错了n的值，分解得(x?2)(x+1)，那么原式x2

【题型2利用因式分解求值】

【例2】（23-24八年级·安徽六安·阶段练习）已知x2?2x?5=0，d=x4?2

A．9 B．14 C．19 D．24

【变式2-1】（23-24八年级·广西贵港·期中）已知a?b=5，b?c=?6，则代数式a2?ac?ba?c

A．?30 B．30 C．?5 D．?6

【变式2-2】（23-24八年级·湖南岳阳·期中）若关于x，y的二元二次式x2+7xy?18y2?5x+my?24

【变式2-3】（23-24八年级·河北邯郸·阶段练习）若652×11?352×11

A．44 B．55 C．66 D．77

【题型3利