2024-2025学年七年级数学下册举一反三系列（沪科版2024）专题8.9 整式乘法与因式分解全章专项复习【3大考点10种题型】（举一反三）（沪科版2024）（解析版）.docx

专题8.9整式乘法与因式分解全章专项复习【3大考点10种题型】

【沪科版2024】

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【考点1整式的乘法】 1

【题型1整式的化简求值】 4

【题型2整式乘法的应用】 7

【题型3利用整式的乘法求字母的值】 10

【题型4运用幂的乘方比较大小】 14

【考点2乘法公式】 17

【题型5利用乘法公式化简求值】 17

【题型6利用乘法公式解方程或不等式】 20

【题型7乘法公式的整体应用】 22

【题型8利用乘法公式解决规律探究问题】 23

【考点3因式分解】 26

【题型9利用因式分解求代数式的值】 28

【题型10因式分解与三角形知识的综合应用】 32

【考点1整式的乘法】

1．同底数幂的乘法

一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n，am·an=·==．

语言叙述：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．

【拓展】（1）同底数幂的乘法法则的推广：三个或三个以上同底数幂相乘，法则也适用．

（m，n，…，p都是正整数）．

（2）同底数幂的乘法法则的逆用：am+n=am·an（m，n都是正整数）．

2．幂的乘方

（1）幂的乘方的意义：

幂的乘方是指几个相同的幂相乘，如（a5）3是三个a5相乘，读作a的五次幂的三次方，（am）n是n个am相乘，读作a的m次幂的n次方．

（2）幂的乘方法则：

一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n，

．

语言叙述：幂的乘方，底数不变，指数相乘．

【拓展】

幂的乘方的法则可推广为（m，n，p都是正整数）．

（2）幂的乘方法则的逆用：（m，n都是正整数）．

3．积的乘方

（1）积的乘方的意义：

积的乘方是指底数是乘积形式的乘方．如（ab）3，（ab）n等．

（积的乘方的意义）

=（a·a·a）·（b·b·b）（乘法交换律、结合律）

=a3b3．

积的乘方法则：

一般地，对于任意底数a，b与任意正整数n，

．

因此，我们有．

语言叙述：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．

4．单项式与单项式相乘

法则：一般地，单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．

（1）只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里，注意不要把这个因式遗漏．

（2）单项式与单项式相乘的乘法法则对于三个及以上的单项式相乘同样适用．

（3）单项式乘单项式的结果仍然是单项式．

【注意】

（1）积的系数等于各项系数的积，应先确定积的符号，再计算积的绝对值．

（2）相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算．

5．单项式与多项式相乘

法则：一般地，单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．

用式子表示：m（a+b+c）=ma+mb+mc（m，a，b，c都是单项式）．

【注意】

（1）单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同，可以以此来检验在运算中是否漏乘某些项．

（2）计算时要注意符号问题，多项式中每一项都包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号．

（3）对于混合运算，应注意运算顺序，有同类项必须合并，从而得到最简结果．

6．多项式与多项式相乘

（1）法则：一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．

（2）多项式与多项式相乘时，要按一定的顺序进行．例如（m+n）（a+b+c），可先用第一个多项式中的每一项与第二个多项式相乘，得m（a+b+c）与n（a+b+c），再用单项式乘多项式的法则展开，即

（m+n）（a+b+c）=m（a+b+c）+n（a+b+c）=ma+mb+mc+na+nb+nc．

【注意】

（1）运用多项式乘法法则时，必须做到不重不漏．

（2）多项式与多项式相乘，仍得多项式．在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积．

7．同底数幂的除法

同底数幂的除法法则：

一般地，我们有（a≠0，m，n都是正整数，并且mn）．

语言叙述：同底数幂相除，底数不变，指数相减．

【拓展】

（1）同底数幂的除法法则的推广：当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质，

例如：（a≠0，m，n，p都是正整数，并且mn+p）．

（2）同底数幂的除法法则的逆用：（a≠0，m，n都是正整数，并且mn）．

8．零指数幂的性质

零指数幂的性质：

同底数幂相除，如果被除式的指数等于除式的指数，例如am÷am，根据除法的意义可知所得的商为1．另一方面，如果依照同底数幂的除法来计算，又有am÷am=am-m=a0．

于是规定：a0=1（a≠0）．

语言叙述：任何